《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

1. 某涵洞的截面是抛物线形状,在如图所示的平面直角坐标系中,抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac {1}{4}x^{2}$.当涵洞水面宽AB为16m时,涵洞顶点O至水面的距离为 (C)

A. -6m
B. 12m
C. 16m
D. 24m

答案： C

2. 如图是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m.若水面再上升1.5m,则水面的宽度为2m.

答案： 2

3. 有一座抛物线形拱桥,桥下面在正常水位时,AB宽20m,水位上升3m就达到警戒线CD,这时水面宽度为10m.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中,求抛物线的解析式;
(2)若洪水到来时,水位从警戒线开始,以每小时0.2m的速度上升,再持续多少小时才能到拱桥顶?
(1)设所求抛物线的解析式为 $ y = ax^2 $。设 $ D(5, b) $，则 $ B(10, b - 3) $，把 $ D $，$ B $ 的坐标分别代入 $ y = ax^2 $，得 $ \begin{cases} 25a = b, \\ 100a = b - 3, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = -\frac{1}{25}, \\ b = -1. \end{cases} $ ∴ 抛物线的解析式为 $ y = -\frac{1}{25}x^2 $；
(2) $ \because b = -1 $，∴ 拱桥顶 $ O $ 到 $ CD $ 的距离为 1 m，$ \frac{1}{0.2} = 5 $(h)，∴ 再持续 5 h 才能到达拱桥顶。

答案： 解：
(1)设所求抛物线的解析式为 $ y = ax^2 $。设 $ D(5, b) $，则 $ B(10, b - 3) $，把 $ D $，$ B $ 的坐标分别代入 $ y = ax^2 $，得 $ \begin{cases} 25a = b, \\ 100a = b - 3, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = -\frac{1}{25}, \\ b = -1. \end{cases} $
∴ 抛物线的解析式为 $ y = -\frac{1}{25}x^2 $；
(2) $ \because b = -1 $，
∴ 拱桥顶 $ O $ 到 $ CD $ 的距离为 $ 1 $ m，$ \frac{1}{0.2} = 5 $(h)，
∴ 再持续 $ 5 $ h 才能到达拱桥顶。

4. (教材$P_{52}$习题$T_{3}$变式)某一型号飞机着陆后滑行的距离y(m)与滑行时间x(s)之间的函数关系式是$y=40x-2x^{2}$,该型号飞机着陆后需滑行200m才能停下来.

答案： 200

5. (2024·宝鸡陈仓区一模)掷实心球是宝鸡市高中阶段学校招生体育考试的选考项目.如图①是一名男生投实心球,实心球行进路线是一条抛物线,行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图②所示,掷出时起点处高度为$\frac {5}{3}m$,当水平距离为4m时,实心球行进至最高点3m处.
(1)求y关于x的函数解析式;$ y = -\frac{1}{12}(x - 4)^2 + 3 $
(2)根据宝鸡市高中阶段学校招生体育考试男生评分标准,投掷过程中,实心球从起点到落地点的水平距离大于等于9.60m时,得分为满分10分.请计算说明该男生在此项考试中是否得满分.该男生在此项考试中得满分

答案： 解：
(1) $ \because $ 抛物线顶点为 $ (4, 3) $，
∴ 设函数解析式为 $ y = a(x - 4)^2 + 3 $。 $ \because $ 抛物线过点 $ (0, \frac{5}{3}) $，
∴ $ a(0 - 4)^2 + 3 = \frac{5}{3} $，解得 $ a = -\frac{1}{12} $，
∴ $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式为 $ y = -\frac{1}{12}(x - 4)^2 + 3 $；
(2) 令 $ y = 0 $，即 $ -\frac{1}{12}(x - 4)^2 + 3 = 0 $，解得 $ x_1 = 10 $，$ x_2 = -2 $(不合题意，舍去)。 $ \because 10 ＞ 9.60 $，
∴ 该男生在此项考试中得满分。