《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

9. 如图,在$△OAB$中,$∠AOB=60^{\circ },OA=4$,点B的坐标为(6,0).将$△OAB$绕点A逆时针旋转得到$△CAD$.当点O的对应点C落在OB上时,点D的坐标为 (A)

A. (7,$3\sqrt {3}$)
B. (7,5)
C. ($5\sqrt {3}$,5)
D. ($5\sqrt {3}$,$3\sqrt {3}$)

答案： A

10. 如图,已知点A(2,0),B(0,4),C(2,4),D(6,6),连接AB,CD,将线段AB绕着某一点旋转一定角度,使其与线段CD重合(点A与点C重合,点B与点D重合),则这个旋转中心的坐标为(4,2).

答案： (4,2)

【变式】如图,在平面直角坐标系中,$△ABC$的顶点都在方格纸的格点上,将$△ABC$绕点P顺时针方向旋转$90^{\circ }$得到$△A'B'C'$,则点P的坐标为(1,2).

答案： (1,2)

11. (2024·广西柳州一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,$△ABC$的三个顶点分别为A(-3,4),B(-5,1),C(-1,2).

(1) 若$△A_{1}B_{1}C_{1}$与$△ABC$关于x轴对称,请写出点$A_{1},B_{1}$的坐标;
(2) 画出$△ABC$绕原点逆时针旋转$90^{\circ }$后的$△A_{2}B_{2}C_{2}$,并写出点$C_{2}$的坐标.

答案：
解:
(1)点A₁,B₁的坐标分别为(−3,−4),(−5,−1);
(2)如图,△A₂B₂C₂即为所求;点C₂的坐标为(−2,−1).
　　　　　　　　　　　　

12. 在平面直角坐标系中,O为原点,点A(4,0),点B(0,3),把$△ABO$绕点B逆时针旋转,得到$△A'BO'$,点A,O旋转后的对应点为$A',O'$,记旋转角为α.
(1) 如图①,若$α=90^{\circ }$,求$AA'$的长;$5\sqrt{2}$
(2) 如图②,若$α=120^{\circ }$,求点$O'$的坐标.$(\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{9}{2})$

答案： 解:
(1)
∵点A(4,0),点B(0,3),
∴OA=4,OB=3,
∴AB= $\sqrt{OB^{2}+OA^{2}}$=$\sqrt{3^{2}+4^{2}}$=5.
∵△ABO绕点B逆时针旋转90°得△A'BO',
∴BA=BA',∠ABA'=90°,
∴△ABA'为等腰直角三角形，
∴AA'=$\sqrt{2}$BA=5$\sqrt{2}$;
(2)过点O'作O'H⊥y轴于点H.
∵△ABO绕点B逆时针旋转120°得△A'BO',
∴BO=BO'=3,∠OBO'=120°,
∴∠HBO'=180°−120°=60°,
∴∠BO'H=90°−60°=30°.在Rt△BHO'中,BH=$\frac{1}{2}$BO'=$\frac{3}{2}$,
∴O'H=$\sqrt{O'B^{2}-BH^{2}}$=$\sqrt{3^{2}-(\frac{3}{2})^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$.又
∵OH=OB+BH=3 +$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{2}$,
∴点O'的坐标为($\frac{3\sqrt{3}}{2}$,$\frac{9}{2}$).