《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

10. 如图，若$\widehat {AB}$和$\widehat {AC}$是同圆的两条弧，且$\widehat {AB}=2\widehat {AC}$，那么弦AB与2AC的大小关系是（B）

A. $AB=2AC$
B. $AB＜2AC$
C. $AB＞2AC$
D. 无法确定

答案： B

11. (教材$P_{85}$练习$T_{1}$变式)如图，AB，CD分别为⊙O的两条弦，$OM⊥AB$于点M，$ON⊥CD$于点N，且$OM=ON$，则（D）

A. $AB=CD$
B. $∠AOB=∠COD$
C. $\widehat {AB}=\widehat {CD}$
D. 以上结论都对

答案： D

12. (教材$P_{90}$习题$T_{13}$变式)如图，A，B是半径为3的⊙O上的两点. 若$∠AOB=120^{\circ }$，C是$\widehat {AB}$的中点，则四边形AOBC的周长等于12.

答案： 12

13. 如图，AB是⊙O的直径，$\widehat {AC}=\widehat {CD},∠COD=60^{\circ }$.
(1)$△AOC$是等边三角形吗？请说明理由；
$\triangle AOC$ 是等边三角形。理由如下：$\because \widehat{AC}=\widehat{CD}$，$\therefore \angle AOC=\angle COD = 60^{\circ}$。又 $\because OA = OC$，$\therefore \triangle AOC$ 是等边三角形
(2) 求证：$OC// BD$.
$\because OD = OB$，$\angle BOD = 180^{\circ}-(\angle AOC+\angle COD)=180^{\circ}-(60^{\circ}+60^{\circ}) = 60^{\circ}$，$\therefore \triangle BOD$ 是等边三角形，$\therefore \angle ODB = 60^{\circ}$，$\therefore \angle ODB=\angle COD$，$\therefore OC// BD$

答案： 解：
(1) $\triangle AOC$ 是等边三角形。理由如下：$\because \widehat{AC}=\widehat{CD}$，$\therefore \angle AOC=\angle COD = 60^{\circ}$。又 $\because OA = OC$，$\therefore \triangle AOC$ 是等边三角形；
(2) $\because OD = OB$，$\angle BOD = 180^{\circ}-(\angle AOC+\angle COD)=180^{\circ}-(60^{\circ}+60^{\circ}) = 60^{\circ}$，$\therefore \triangle BOD$ 是等边三角形，$\therefore \angle ODB = 60^{\circ}$，$\therefore \angle ODB=\angle COD$，$\therefore OC// BD$。

14. 如图，以$□ ABCD$的顶点A为圆心，AB长为半径作圆，交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于点G. 求证：$\widehat {GE}=\widehat {EF}$.


证明：连接 $AF$。$\because$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形，$\therefore AD// BC$，$\therefore \angle B=\angle GAE$，$\angle EAF=\angle AFB$。又 $\because AB = AF$，$\therefore \angle B=\angle AFB$，$\therefore \angle GAE=\angle EAF$，$\therefore \widehat{GE}=\widehat{EF}$。

答案： 证明：连接 $AF$。$\because$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形，$\therefore AD// BC$，$\therefore \angle B=\angle GAE$，$\angle EAF=\angle AFB$。又 $\because AB = AF$，$\therefore \angle B=\angle AFB$，$\therefore \angle GAE=\angle EAF$，$\therefore \widehat{GE}=\widehat{EF}$。

15. 新视角 操作探究题 如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B是$\widehat {AD}$的中点，若P是直线CD上一动点，⊙O的半径是2，求$PB+PA$的最小值.$2\sqrt{2}$

答案： 解：作点 $A$ 关于直径 $CD$ 的对称点 $A'$，连接 $BA'$ 交 $CD$ 于点 $P$，连接 $OB$，$OA'$，$AP$。根据轴对称的性质可知 $AP = A'P$，$\therefore AP + BP = A'P + BP$。$\because$ 两点之间线段最短，$\therefore$ 此时 $A'P + BP$ 最小，即 $AP + BP$ 最小，$\therefore AP + BP$ 的最小值为 $A'B$ 的长。$\because$ 点 $A$ 是半圆上的一个三等分点，$\therefore$ 易得 $\angle AOD=\angle A'OD = 60^{\circ}$。$\because$ 点 $B$ 是 $\widehat{AD}$ 的中点，$\therefore \angle BOD=\frac{1}{2}\angle AOD=\frac{1}{2}\times60^{\circ}=30^{\circ}$，$\therefore \angle A'OB=\angle A'OD+\angle BOD = 60^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ}$。由题意知 $OB = OA' = 2$，$\therefore$ 在 $Rt\triangle A'OB$ 中，由勾股定理，得 $A'B=\sqrt{OB^{2}+OA'^{2}}=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}$，$\therefore PB + PA$ 的最小值是 $2\sqrt{2}$。