《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

9. (2024·重庆模拟)如图，在$△ABC$中，$∠B=30^{\circ }$，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OA为半径作圆，$\odot O$恰好与BC相切于点D，连接AD.若AD平分$∠CAB$，$BD=\sqrt {3}$，则线段AC的长是(C)

A. 2
B. $\sqrt {3}$
C. $\frac {3}{2}$
D. $\frac {3\sqrt {3}}{2}$

答案： C

10. 如图，在$\odot O$中，直径AB与弦CD交于点E，$\widehat {AC}=2\widehat {BD}$，连接AD，过点B的切线与AD的延长线交于点F.若$∠AFB=68^{\circ }$，则$∠DEB$的度数为______66°.

答案： 66°

11. (2024·甘肃临夏)如图，直线l与$\odot O$相切于点D，AB为$\odot O$的直径，连接AD，过点A作$AE⊥l$于点E，延长AB交直线l于点C.
(1)求证：AD平分$∠CAE$；
(2)如果$BC=1$，$DC=3$，求$\odot O$的半径.4

答案： 解：
(1)连接OD.
∵直线l与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CE.
∵AE⊥CE，
∴OD//AE，
∴∠ODA=∠EAD.
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠OAD=∠EAD，
∴AD平分∠CAE；
(2)设⊙O的半径为r，则OB=OD=r. 在Rt△OCD中，OD=r，CD=3，OC=r+1，由勾股定理，得OD²+CD²=OC²，即r²+3²=(r+1)²，解得r=4. 即⊙O的半径为4.

12. (2024·山东东营)如图，$△ABC$内接于$\odot O$，AB是$\odot O$的直径，点E在$\odot O$上，点C是$\widehat {BE}$的中点，$AE⊥CD$，垂足为点D，DC的延长线交AB的延长线于点F.
(1)求证：CD是$\odot O$的切线；
(2)若$CD=\sqrt {3}$，$∠ABC=60^{\circ }$，求线段AF的长.6

答案： 解：
(1)连接OC.
∵点C是$\overset{\frown}{BE}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CE}$，
∴∠BAC=∠CAE.
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OCA=∠CAD，
∴OC//AD.
∵AE⊥CD，
∴OC⊥CD.
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∵∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠CAD=∠BAC=30°.
∵∠D=90°，CD=$\sqrt{3}$，
∴AC=2$\sqrt{3}$，
∴AD=3.
∵∠BAD=∠CAD+∠BAC=60°，
∴∠F=180°-∠D-∠BAD=30°，
∴AF=2AD=6.