《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

1. 新视角 新定义 对于实数a,b定义运算“$\otimes$”为$a\otimes b=b^{2}-ab$，例如$3\otimes 2=2^{2}-3×2=-2$，则关于x的方程$(k-3)\otimes x=k-1$根的情况，下列说法正确的是（A）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根
D. 无法确定

答案： A

2. 若关于x的一元二次方程$x^{2}-3x+m=0$有两个相等的实数根，则实数m的值为（C）
A. -9
B. $-\frac {9}{4}$
C. $\frac {9}{4}$
D. 9

答案： C

3. 已知关于x的一元二次方程$(\frac {1}{4}m-1)x^{2}-x+1=0$有实数根，则m的取值范围是$ m \leq 5 $且$ m \neq 4 $.
【变式1】若该一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是$ m ＞ 5 $.
【变式2】若该一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是$ m ＜ 5 $且$ m \neq 4 $.
【变式3】若方程$(\frac {1}{4}m-1)x^{2}-x+1=0$有解，则m的取值范围是$ m \leq 5 $.

答案： $ m \leq 5 $且$ m \neq 4 $
【变式 1】$ m ＞ 5 $
【变式 2】$ m ＜ 5 $且$ m \neq 4 $
【变式 3】$ m \leq 5 $

4. 已知关于x的方程$mx^{2}-(m+2)x+2=0$.
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？

答案： 解：
(1)当$ m = 0 $时，方程为$ -2x + 2 = 0 $，此时方程有实数根；当$ m \neq 0 $时，$ \Delta = [-(m + 2)]^2 - 4m \times 2 = m^2 - 4m + 4 = (m - 2)^2 \geq 0 $，此时方程有两个实数根。综上所述，无论$ m $为何值，方程总有实数根；
(2)
∵原方程可变形为$ (x - 1)(mx - 2) = 0 $，
∴$ x_1 = 1 $，$ x_2 = \frac{2}{m} $。
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴$ \frac{2}{m} $为正整数，且$ \frac{2}{m} \neq 1 $。又
∵$ m $为整数，
∴$ m = 1 $。

5. 若$x_{1},x_{2}$是一元二次方程$x^{2}+x-2=0$的两个实数根，则$x_{1}+x_{2}-4x_{1}x_{2}$的值为（D）
A. 4
B. -3
C. 0
D. 7

答案： D

6. 新考法 构建方程模型法 方程，如同一首精致的诗，以简洁的线条勾勒出深沉的数学之美.已知a,b满足$a^{2}+2a-3=0,b^{2}+2b-3=0$，且$a≠b$，则$\frac {1}{a}+\frac {1}{b}=$$\frac{2}{3}$.

答案： $ \frac{2}{3} $

7. 若关于x的一元二次方程$x^{2}+(a^{2}-2a)x+a-1=0$的两个实数根互为相反数，则a的值为（B）
A. 2
B. 0
C. 1
D. 2或0

答案： B

8. (2024·四川遂宁)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(m+2)x+m-1=0$.
(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为$x_{1},x_{2}$，且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9$，求m的值.-2或1

答案： 解：
(1)$ a = 1 $，$ b = -(m + 2) $，$ c = m - 1 $，$ \Delta = b^2 - 4ac = [-(m + 2)]^2 - 4 \times 1 \times (m - 1) = m^2 + 4m + 4 - 4m + 4 = m^2 + 8 $。
∵$ m^2 \geq 0 $，
∴$ \Delta ＞ 0 $。
∴无论$ m $取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)由题意，得$ x_1 + x_2 = m + 2 $，$ x_1x_2 = m - 1 $。
∵$ x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 9 $，即$ (x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 = 9 $，
∴$ (m + 2)^2 - 3(m - 1) = 9 $。整理，得$ m^2 + m - 2 = 0 $。
∴$ (m + 2)(m - 1) = 0 $。解得$ m_1 = -2 $，$ m_2 = 1 $。
∴$ m $的值为$ -2 $或$ 1 $。