《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

10. 抛物线$ y = a x ^ { 2 } + b x + c $的顶点在$ y $轴上，且经过$ ( - 1 , 3 ) $，$ ( - 2 , 6 ) $两点，则其解析式为（C）
A. $ y = x ^ { 2 } - 2 $
B. $ y = - x ^ { 2 } + 2 $
C. $ y = x ^ { 2 } + 2 $
D. $ y = - x ^ { 2 } - x $

答案： C

11. (2024·陕西)已知一个二次函数$ y = a x ^ { 2 } + b x + c $的自变量$ x $与函数$ y $的几组对应值如下表.
| $ x $ | $ \cdots $ | $ - 4 $ | $ - 2 $ | $ 0 $ | $ 3 $ | $ 5 $ | $ \cdots $ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $ y $ | $ \cdots $ | $ - 24 $ | $ - 8 $ | $ 0 $ | $ - 3 $ | $ - 15 $ | $ \cdots $ |
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（D）
A. 图象的开口向上
B. 当$ x ＞ 0 $时，$ y $的值随$ x $值的增大而增大
C. 图象经过第二、三、四象限
D. 图象的对称轴是直线$ x = 1 $

答案： D

12. 如图，已知二次函数$ y = x ^ { 2 } + b x + c $图象经过点$ A ( 1 , - 2 ) $和$ B ( 0 , - 5 ) $.
(1)求该二次函数的解析式及图象的顶点坐标；
(2)当$ y \leq - 2 $时，请根据图象直接写出$ x $的取值范围.

答案：
解：（1）把$A(1,-2)$和$B(0,-5)$代入$y=x^{2}+bx+c$，得$\left\{\begin{array}{l} 1+b+c=-2,\\ c=-5,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} b=2,\\ c=-5.\end{array}\right. $
∴该二次函数的解析式为$y=x^{2}+2x-5$.
∵$y=x^{2}+2x-5=(x+1)^{2}-6$，
∴图象的顶点坐标为$(-1,-6)$；
（2）如图，作点$A(1,-2)$关于对称轴直线$x=-1$的对称点$C(-3,-2)$. 由图可知，当$y≤-2$时，$x$的取值范围是$-3≤x≤1$.

13. 数学思想 建模思想 为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量$ y ( \mathrm { g } ) $随时间$ x ( \mathrm { min } ) $变化的数据$ ( 0 \leq x \leq 20 ) $，并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示.
(1)从$ y = a x + 21 ( a \neq 0 ) $，$ y = \frac { k } { x } ( k \neq 0 ) $，$ y = - 0.04 x ^ { 2 } + b x + c $中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下$ y $随$ x $变化的函数关系，场景A为$y=-0.04x^{2}+bx+c$，场景B为$y=ax+21(a≠0)$，并求出相应的函数解析式；场景A的函数解析式为$y=-0.04x^{2}-0.1x+21$，场景B的函数解析式为$y=-x+21$；
(2)查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为$ 3 \mathrm { g } $，在上述实验中，该化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长？

答案： 解：（1）观察两种场景可知，场景A为$y=-0.04x^{2}+bx+c$，场景B为$y=ax+21(a≠0)$. 将$(10,16),(20,3)$代入$y=-0.04x^{2}+bx+c$，得$\left\{\begin{array}{l} -4+10b+c=16,\\ -16+20b+c=3,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} b=-0.1,\\ c=21.\end{array}\right. $
∴$y=-0.04x^{2}-0.1x+21$. 把$(5,16)$代入$y=ax+21$，得$5a+21=16$，解得$a=-1$，
∴$y=-x+21$.
∴场景A的函数解析式为$y=-0.04x^{2}-0.1x+21$，场景B的函数解析式为$y=-x+21$；
（2）当$y=3$时，由题图知，场景A中，$x=20$；场景B中，$3=-x+21$，解得$x=18$.
∵$20＞18$，
∴化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长.