《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

1. 已知抛物线经过原点$O$,$A(2,\frac{1}{2})$和$B(-1,\frac{1}{8})$三点,求此抛物线的解析式.

答案： 解：设抛物线的解析式为 $ y = ax^{2} + bx + c $，则 $ \left\{ \begin{array} { l } { 0 = c, } \\ { \frac { 1 } { 2 } = 4 a + 2 b + c, } \\ { \frac { 1 } { 8 } = a - b + c, } \end{array} \right. $ 解得 $ \left\{ \begin{array} { l } { a = \frac { 1 } { 8 }, } \\ { b = 0, } \\ { c = 0. } \end{array} \right. $
∴ 此抛物线的解析式为 $ y = \frac { 1 } { 8 } x ^ { 2 } $。

2. 已知抛物线经过点$(-1,0)$,对称轴为直线$x = 2$,顶点的纵坐标是$-\frac{18}{5}$,求此抛物线的解析式.

答案： 解：由题意可知抛物线的顶点坐标为 $ \left( 2, - \frac { 18 } { 5 } \right) $，故设 $ y = a ( x - 2 ) ^ { 2 } - \frac { 18 } { 5 } $，代入点 $ ( - 1, 0 ) $，得 $ a \times ( - 1 - 2 ) ^ { 2 } - \frac { 18 } { 5 } = 0 $，解得 $ a = \frac { 2 } { 5 } $。
∴ 此抛物线的解析式为 $ y = \frac { 2 } { 5 } ( x - 2 ) ^ { 2 } - \frac { 18 } { 5 } $。

3. 已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c$,$y$随$x$变化的部分数值规律如下表,求该抛物线的解析式.
| $x$ | $\cdots$ | $-1$ | $0$ | $2$ | $3$ | $\cdots$ |
| $y$ | $\cdots$ | $0$ | $3$ | $3$ | $0$ | $\cdots$ |

答案： 解：设 $ y = a ( x + 1 ) ( x - 3 ) $，代入点 $ ( 0, 3 ) $，得 $ - 3 a = 3 $，解得 $ a = - 1 $。
∴ 此抛物线的解析式为 $ y = - ( x + 1 ) ( x - 3 ) = - x ^ { 2 } + 2 x + 3 $。

4. 已知抛物线$y = -x^{2}+2x + 3$,求此抛物线关于$y$轴对称的抛物线的解析式.

答案： 解：
∵ $ y = - x ^ { 2 } + 2 x + 3 = - ( x - 1 ) ^ { 2 } + 4 $，
∴ 其顶点为 $ ( 1, 4 ) $。
∵ 所求抛物线与原抛物线关于 $ y $ 轴对称，
∴ 所求抛物线的顶点坐标为 $ ( - 1, 4 ) $，开口方向和大小不变，
∴ 所求抛物线的解析式为 $ y = - ( x + 1 ) ^ { 2 } + 4 = - x ^ { 2 } - 2 x + 3 $。

5. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,$\triangle ABC$是等腰三角形,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$A(1,0)$,$B(0,2)$,抛物线$y = \frac{1}{2}x^{2}+bx - 2$的图象过点$C$.求抛物线的解析式.

抛物线的解析式为$y = \frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{2}x - 2$.

答案： 解：过点 $ C $ 作 $ CD \perp x $ 轴于点 $ D $，则 $ \angle C A D + \angle D C A = 90 ^ { \circ } $。
∵ $ \angle B A C = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle O A B + \angle C A D = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle O A B = \angle D C A $。
∵ $ \triangle A B C $ 是等腰三角形，
∴ $ A B = A C $。又
∵ $ \angle A O B = \angle C D A = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ \triangle A O B \cong \triangle C D A ( A A S ) $。
∵ $ A ( 1, 0 ) $，$ B ( 0, 2 ) $，
∴ $ C D = O A = 1 $，$ A D = O B = 2 $，
∴ $ O D = O A + A D = 1 + 2 = 3 $，
∴ $ C ( 3, 1 ) $。
∵ 点 $ C ( 3, 1 ) $ 在抛物线 $ y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + b x - 2 $ 上，
∴ $ 1 = \frac { 1 } { 2 } \times 9 + 3 b - 2 $，解得 $ b = - \frac { 1 } { 2 } $，
∴ 抛物线的解析式为 $ y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } x - 2 $。