《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

1. 如图，抛物线 $ y = ax ^ { 2 } + bx + 2 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点，且 $ OA = 2 OB $，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，连接 $ BC $，抛物线的对称轴为直线 $ x = \frac { 1 } { 2 } $，$ D $ 为第一象限内抛物线上一动点，过点 $ D $ 作 $ DE \perp OA $ 于点 $ E $，与 $ AC $ 交于点 $ F $，设点 $ D $ 的横坐标为 $ m $．
(1) 求抛物线的解析式；$y=-x^{2}+x+2$
(2) 当线段 $ DF $ 的长度最大时，求点 $ D $ 的坐标．$(1,2)$

答案： 解：
(1)$y=-x^{2}+x+2$；
(2)易得$A(2,0)$，$C(0,2)$，则直线$AC$的解析式为$y=-x+2$．$\because$点$D$的横坐标为$m$，$\therefore D(m,-m^{2}+m+2)(0\lt m\lt2)$，$F(m,-m+2)$，$\therefore DF=(-m^{2}+m+2)-(-m+2)=-m^{2}+2m=-(m-1)^{2}+1$．$\because$此抛物线的开口向下，$\therefore$当$m=1$时，线段$DF$的长度最大，此时$-m^{2}+m+2=-1+1+2=2$．$\therefore D(1,2)$．

2. 如图，在平面直角坐标系中，点 $ A $，$ C $ 的坐标分别为 $ ( - 1,0 ) $ 和 $ ( 0, - 3 ) $，点 $ B $ 在 $ x $ 轴上．已知某二次函数的图象经过 $ A $，$ B $，$ C $ 三点，且它的对称轴为直线 $ x = 1 $，点 $ P $ 为直线 $ BC $ 下方的二次函数图象上的一个动点（点 $ P $ 与点 $ B $，$ C $ 不重合），过点 $ P $ 作 $ y $ 轴的平行线交 $ BC $ 于点 $ F $，交 $ x $ 轴于点 $ E $．
(1) 求该二次函数的解析式；
($y=x^{2}-2x-3$)

(2) 若设点 $ P $ 的横坐标为 $ m $，求 $ \triangle PBC $ 面积的最大值，并求此时点 $ P $ 的坐标．
(面积最大值为$\frac{27}{8}$，此时点 $ P $ 的坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{15}{4})$)

答案： 解：
(1)$y=x^{2}-2x-3$；
(2)$\because$点$P$的横坐标为$m$，$\therefore P(m,m^{2}-2m-3)(0\lt m\lt3)$．易得直线$BC$的解析式为$y=x-3$，$\because PE$平行$y$轴，交$BC$于点$F$，$\therefore$点$F$的坐标为$(m,m-3)$，$\therefore PF=(m-3)-(m^{2}-2m-3)=-m^{2}+3m$．$\therefore S_{\triangle PBC}=S_{\triangle PFC}+S_{\triangle PFB}=\frac{1}{2}PF\cdot OE+\frac{1}{2}PF\cdot BE=\frac{1}{2}PF(OE+BE)=\frac{1}{2}PF\cdot BO=\frac{1}{2}\times(-m^{2}+3m)\times3=-\frac{3}{2}(m-\frac{3}{2})^{2}+\frac{27}{8}$．$\because -\frac{3}{2}\lt0$，$\therefore$此抛物线的开口向下，$\therefore$当$m=\frac{3}{2}$时，$\triangle PBC$的面积最大，为$\frac{27}{8}$，此时点$P$的坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{15}{4})$．

3. (2024·黑龙江) 如图，抛物线 $ y = - x ^ { 2 } + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，其中 $ B ( 1,0 ) $，$ C ( 0,3 ) $．
(1) 求抛物线的解析式；
解：抛物线的解析式为$y=-x^{2}-2x+3$；
(2) 在第二象限的抛物线上是否存在一点 $ P $，使得 $ \triangle APC $ 的面积最大？若存在，请直接写出点 $ P $ 的坐标和 $ \triangle APC $ 的面积最大值；若不存在，请说明理由．
解：存在．点$P$的坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{15}{4})$，$\triangle APC$的面积最大为$\frac{27}{8}$．

答案： 解：
(1)将$B(1,0)$，$C(0,3)$代入抛物线$y=-x^{2}+bx+c$中，得$\begin{cases}-1+b+c=0,\\c=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=-2,\\c=3.\end{cases}$$\therefore$抛物线的解析式为$y=-x^{2}-2x+3$；
(2)存在．点$P$的坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{15}{4})$，$\triangle APC$的面积最大为$\frac{27}{8}$．[解析：令$y=0$，则$0=-x^{2}-2x+3$，解得$x_{1}=-3$，$x_{2}=1$，$\therefore A(-3,0)$，$\therefore OA=3$．$\because C(0,3)$，$\therefore OC=3$．过点$P$作$PE\perp x$轴于点$E$．设$P(a,-a^{2}-2a+3)$，且在第二象限内，$\therefore OE=-a$，$AE=3+a$，$\therefore S_{\triangle APC}=S_{\triangle APE}+S_{梯形PCOE}-S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}AE\cdot PE+\frac{1}{2}(OC+PE)\cdot OE-\frac{1}{2}OA\cdot OC=\frac{1}{2}\times(3+a)(-a^{2}-2a+3)+\frac{1}{2}(3-a^{2}-2a+3)(-a)-\frac{1}{2}\times3\times3=-\frac{3}{2}(a+\frac{3}{2})^{2}+\frac{27}{8}$．$\because -\frac{3}{2}\lt0$，$\therefore$此抛物线开口向下，$\therefore$当$a=-\frac{3}{2}$时，$S$有最大值，最大值为$\frac{27}{8}$，此时点$P$的坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{15}{4})$]