《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

10. 新考法 假设分析法 函数$y = ax^{2}$与$y = ax - a$的大致图象是 （B）

答案： B

11. 图中与二次函数$y = \frac{1}{3}x^{2}$,$y = 2x^{2}$,$y = -\frac{1}{3}x^{2}$,$y = -2x^{2}$的图象对应的是（B）

A. ①②④③
B. ②①④③
C. ①②③④
D. ②①③④

答案： B

12. 如图,从二次函数$y = ax^{2}$的图象上可以看出,当$-1 \leqslant x \leqslant 2$时,$y$的取值范围是0 ≤ y ≤ 4.

答案： 0 ≤ y ≤ 4

13. 已知函数$y = (m + 1)x^{m^{2} + m}$是关于$x$的二次函数.
(1)$m$为何值时,抛物线有最低点? 此时,当$x$取何值时,$y$随$x$的增大而增大?
(2)$m$为何值时,函数有最大值? 最大值是多少?

答案： 解：由题意，得 m² + m = 2，解得 m = -2，或 m = 1。
(1)
∵ 抛物线有最低点，
∴ m + 1 ＞ 0，
∴ m ＞ -1，
∴ m = 1。此时抛物线的函数解析式为 y = 2x²。
∵ 2 ＞ 0，
∴ 抛物线的开口向上。又
∵ 抛物线的对称轴为 y 轴，
∴ 当 x ＞ 0 时，y 随 x 的增大而增大；
(2)
∵ 函数有最大值，
∴ m + 1 ＜ 0，
∴ m ＜ -1，
∴ m = -2。此时抛物线的函数解析式为 y = -x²，函数的最大值为 0。

14. 已知直线$y = kx + b$过$x$轴上的点$A(2,0)$,且与抛物线$y = ax^{2}$相交于$B$,$C$两点,已知点$B$的坐标为$(1,1)$.
(1)求直线和抛物线各自的函数解析式,并在同一平面直角坐标系中画出它们的图象;
(2)如果抛物线上有一点$D$(点$D$在$y$轴的右侧),使得$S_{\triangle OAD} = S_{\triangle OBC}$,求此时点$D$的坐标.

答案：

(1)
∵ 直线 y = kx + b 过点 A(2,0)，B(1,1)，
∴ {2k + b = 0, k + b = 1}，解得 {k = -1, b = 2}，
∴ 直线 AB 的函数解析式为 y = -x + 2。
∵ 抛物线 y = ax² 过点 B(1,1)，
∴ a = 1，
∴ 抛物线的函数解析式为 y = x²；图象如图；
(2) 连接 OB，OC。解方程组 {y = -x + 2, y = x²}，得 {x₁ = -2, y₁ = 4}，{x₂ = 1, y₂ = 1}，
∴ 点 C 的坐标为 (-2,4)。又
∵ 点 B 的坐标为 (1,1)，点 A 的坐标为 (2,0)，
∴ S△OAC = $\frac{1}{2}$ × 2 × 4 = 4，S△OAB = $\frac{1}{2}$ × 2 × 1 = 1，
∴ S△OBC = S△OAC - S△OAB = 4 - 1 = 3。设点 D 的纵坐标为 yD，则 yD ＞ 0，
∴ S△OAD = $\frac{1}{2}$OA·yD = $\frac{1}{2}$ × 2yD = 3，
∴ yD = 3。把 yD = 3 代入 y = x²，解得 xD = ±$\sqrt{3}$。又
∵ 点 D 在 y 轴的右侧，
∴ xD = $\sqrt{3}$，
∴ 点 D 的坐标为 ($\sqrt{3}$,3)。