《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

8. 如图，在半径为$\sqrt{13}$的$\odot O$中，弦AB与CD交于点E，$∠DEB=75^{\circ}$，$AB=6$，$AE=1$，则CD的长是 (C)

A. $2\sqrt{6}$
B. $2\sqrt{10}$
C. $2\sqrt{11}$
D. $4\sqrt{3}$

答案： C

9. 数学文化 圆材埋壁 “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺. 问径几何?”用现在的几何语言表达，即：如图，CD为$\odot O$的直径，弦$AB⊥CD$，垂足为E，$CE=1$寸，$AB=10$寸，则直径CD的长度是 (D)

A. 12寸
B. 24寸
C. 13寸
D. 26寸

答案： D

10. 新视角 动点探究题 如图，$\odot O$的直径为10 cm，弦$AB=8cm$，P是弦AB上的一个动点，则OP长的取值范围是$ 3 \text{cm} \leqslant OP \leqslant 5 \text{cm} $.

答案： $ 3 \text{cm} \leqslant OP \leqslant 5 \text{cm} $

11. 如图，$\odot P$与y轴交于点$M(0,-4)$，$N(0,-10)$，圆心P的横坐标为-4. 求$\odot P$的半径.

解：过点 $ P $ 作 $ PD \perp MN $ 于点 $ D $，连接 $ PM $。$\because \odot P $ 与 $ y $ 轴交于 $ M(0, -4) $，$ N(0, -10) $ 两点，$\therefore OM = 4 $，$ ON = 10 $，$\therefore MN = ON - OM = 10 - 4 = 6 $。$\because PD \perp MN $，$\therefore DM = DN = \frac{1}{2}MN = 3 $。$\because$ 点 $ P $ 的横坐标为 $ -4 $，即 $ PD = 4 $，$\therefore$ 在 $ \text{Rt} \triangle PMD $ 中，由勾股定理，得 $ PM = \sqrt{PD^{2} + DM^{2}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = $5，即 $ \odot P $ 的半径为5。

答案： 解：过点 $ P $ 作 $ PD \perp MN $ 于点 $ D $，连接 $ PM $。$\because \odot P $ 与 $ y $ 轴交于 $ M(0, -4) $，$ N(0, -10) $ 两点，$\therefore OM = 4 $，$ ON = 10 $，$\therefore MN = ON - OM = 10 - 4 = 6 $。$\because PD \perp MN $，$\therefore DM = DN = \frac{1}{2}MN = 3 $。$\because$ 点 $ P $ 的横坐标为 $ -4 $，即 $ PD = 4 $，$\therefore$ 在 $ \text{Rt} \triangle PMD $ 中，由勾股定理，得 $ PM = \sqrt{PD^{2} + DM^{2}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5 $，即 $ \odot P $ 的半径为 $ 5 $。

12. 如图，一座拱桥的截面是圆弧形，它的跨度$AB=60m$，拱高$PD=18m$.
(1)求圆弧所在圆的半径；
(2)已知当洪水泛滥到跨度只有30 m时，要采取紧急措施. 若拱顶离水面只有4 m，即$PE=4m$时，是否要采取紧急措施?

(1)圆弧所在圆的半径为34m；
(2)不需要采取紧急措施。

答案： 解：
(1) 连接 $ OA $，设圆弧所在圆的半径为 $ r \text{m} $，则 $ OD = (r - 18) \text{m} $。由题意，易得 $ OD \perp AB $，$\therefore AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \times 60 = 30(\text{m}) $。在 $ \text{Rt} \triangle ADO $ 中，由勾股定理，得 $ OA^{2} = AD^{2} + OD^{2} $，即 $ r^{2} = 30^{2} + (r - 18)^{2} $，解得 $ r = 34 $。$\therefore$ 圆弧所在圆的半径为 $ 34 \text{m} $；
(2) 连接 $ OA' $。由
(1) 知 $ A'O = OP = 34 \text{m} $，$\therefore OE = OP - PE = 34 - 4 = 30(\text{m}) $。易知 $ OE \perp A'B' $，$\therefore A'E = B'E $，$ \angle A'EO = 90^{\circ} $。$\therefore$ 在 $ \text{Rt} \triangle A'EO $ 中，由勾股定理，得 $ A'E^{2} = A'O^{2} - OE^{2} $，即 $ A'E^{2} = 34^{2} - 30^{2} = 256 $，$\therefore A'E = 16 \text{m} $，$\therefore A'B' = 2A'E = 2 \times 16 = 32(\text{m}) $。$\because 32 \text{m} ＞ 30 \text{m} $，$\therefore$ 不需要采取紧急措施。