《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

11. (2024·重庆B卷)如图，AB是$\odot O$的弦，$OC⊥AB$交$\odot O$于点C，点D是$\odot O$上一点，连接BD，CD. 若$∠D=28^{\circ }$，则$∠OAB$的度数为 (B)

A. $28^{\circ }$
B. $34^{\circ }$
C. $56^{\circ }$
D. $62^{\circ }$

答案： B

12. 如图，已知$\odot O$的直径$AE=10cm$，$∠B=∠EAC$，则AC的长为 (B)

A. $5cm$
B. $5\sqrt {2}cm$
C. $5\sqrt {3}cm$
D. $6cm$

答案： B

13. 如图，$\odot C$经过原点，并与两坐标轴分别交于A，D两点，已知$∠OBA=30^{\circ }$，点A的坐标为$(2,0)$，则点D的坐标为______$(0,2\sqrt{3})$.

答案： $(0,2\sqrt{3})$

14. (教材$P_{87}$例4变式)如图，$\odot O$的直径AB的长为6，弦AC的长为2，$∠ACB$的平分线交$\odot O$于点D.
(1)求BC，BD，AD的长；BC=$4\sqrt{2}$，BD=$3\sqrt{2}$，AD=$3\sqrt{2}$
(2)求四边形ADBC的面积.四边形ADBC的面积为$4\sqrt{2}+9$

答案： 解：
(1) $\because AB$ 为 $\odot O$ 的直径，$\therefore \angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle ADB = 90^{\circ}$。在 $Rt\triangle ACB$ 中，$AB = 6$，$AC = 2$，则 $BC = \sqrt{AB^{2} - AC^{2}} = \sqrt{6^{2} - 2^{2}} = 4\sqrt{2}$。$\because CD$ 平分 $\angle ACB$，$\therefore \angle ACD = \angle BCD = 45^{\circ}$，$\therefore \angle ABD = \angle BAD = 45^{\circ}$。在 $Rt\triangle ABD$ 中，易得 $AD = BD = 3\sqrt{2}$；
(2) $S_{四边形ADBC} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2}AC \cdot BC + \frac{1}{2}AD \cdot BD = \frac{1}{2} \times 2 \times 4\sqrt{2} + \frac{1}{2} \times 3\sqrt{2} \times 3\sqrt{2} = 4\sqrt{2} + 9$。

15. 新视角 过程探究题 已知A，B为圆上两定点，点C在该圆上，$∠C$为$\widehat {AB}$所对的圆周角.
【知识回顾】
(1)如图①，在$\odot O$中，点B，C位于直线AO异侧，$∠AOB+∠C=135^{\circ }$.
①求$∠C$的度数；
②若$\odot O$的半径为5，$AC=8$，求BC的长；
【逆向思考】
(2)如图②，P为圆内一点，且$∠APB＜120^{\circ }$，$PA=PB$，$∠APB=2∠C$. 求证：点P为该圆的圆心.

答案：
解：
(1) ① 在 $\odot O$ 中，$\angle AOB = 2\angle C$。$\because \angle AOB + \angle C = 135^{\circ}$，$\therefore 2\angle C + \angle C = 135^{\circ}$，$\therefore \angle C = 45^{\circ}$；② 如图①，连接 $AB$，过点 $A$ 作 $AM \perp BC$，垂足为 $M$。$\because \angle C = 45^{\circ}$，$AC = 8$，$\therefore \triangle ACM$ 是等腰直角三角形，易得 $AM = CM = 4\sqrt{2}$。$\because \angle AOB = 2\angle C = 90^{\circ}$，$OA = OB$，$\therefore \triangle AOB$ 是等腰直角三角形。$\therefore$ 由勾股定理，得 $AB = \sqrt{OA^{2} + OB^{2}} = \sqrt{5^{2} + 5^{2}} = 5\sqrt{2}$。在 $Rt\triangle ABM$ 中，$BM = \sqrt{AB^{2} - AM^{2}} = \sqrt{(5\sqrt{2})^{2} - (4\sqrt{2})^{2}} = 3\sqrt{2}$，$\therefore BC = CM + BM = 4\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$；
(2) 如图②，延长 $AP$ 交圆于点 $N$，连接 $BN$，则 $\angle C = \angle N$。$\because \angle APB = 2\angle C$，$\therefore \angle APB = 2\angle N$。$\because \angle APB = \angle N + \angle PBN$，$\therefore \angle N = \angle PBN$。$\therefore PN = PB$。$\because PA = PB$，$\therefore PA = PB = PN$。$\therefore$ 点 $P$ 为该圆的圆心。