《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

10. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2mx + m^{2}+\frac{3}{2}m - 1 = 0$有两个实数根．
（1）求$m$的取值范围；
（2）设$x_{1}$，$x_{2}$是方程的两个实数根，当$m$取最大值时，求$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$的值．

答案： 解:
(1) $\because$ 一元二次方程 $x^{2}-2mx + m^{2}+\frac{3}{2}m - 1 = 0$ 有两个实数根, $\therefore\Delta=b^{2}-4ac=(-2m)^{2}-4\times(m^{2}+\frac{3}{2}m - 1)=-6m + 4\geqslant0$, 解得 $m\leqslant\frac{2}{3}$. $\therefore$ 实数 $m$ 的取值范围为 $m\leqslant\frac{2}{3}$;
(2) $\because x_{1}+x_{2}=2m,x_{1}x_{2}=m^{2}+\frac{3}{2}m - 1$, $\therefore x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=(2m)^{2}-2(m^{2}+\frac{3}{2}m - 1)=2m^{2}-3m + 2$. 由
(1) 可知 $m\leqslant\frac{2}{3},\therefore m$ 的最大值为 $\frac{2}{3}$. 当 $m=\frac{2}{3}$ 时, $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2\times(\frac{2}{3})^{2}-3\times\frac{2}{3}+2=\frac{8}{9},\therefore$ 当 $m$ 取最大值 $\frac{2}{3}$ 时, $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ 的值是 $\frac{8}{9}$.

11. 如图，一块长方形绿地的长为$100m$，宽为$50m$，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为$4704m^{2}$，则根据题意可列出方程（D）

A. $5000 - 150x = 4704$
B. $5000 - 150x - x^{2}=4704$
C. $5000 - 150x+\frac{1}{2}x^{2}=4704$
D. $(100 - x)(50 - x)=4704$

答案： D

12. （2024·四川绵阳）超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为$500$元．因销量持续攀升，商家在$3$月份提价$20\%$，后发现销量锐减，于是经过核算决定在$3$月份售价的基础上，$4$，$5$月份按照相同的降价率$r$连续降价．已知$5$月份礼盒的售价为$486$元，则$r =$$10\%$．

答案： $10\%$

13. （2024·广东汕头潮南区校级三模）综合与实践
【问题情景】学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．
【操作探究】
（1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的______经过折叠能围成无盖正方体纸盒；

（2）如图①是小云的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是“______”；

（3）如图②，有一张边长为$30cm$的正方形废弃宣传单，小张准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．
①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕；
②若要折成的无盖长方体纸盒底面积为$484cm^{2}$，求将要剪去的小正方形的边长，并求出这个纸盒的体积．

答案：
解:
(1) C
(2) 卫
(3) ①所画出的图形如图所示;

②设将要剪去的小正方形的边长为 $x\mathrm{~cm}$. 根据题意, 得 $(30 - 2x)^{2}=484$. 解得 $x_{1}=4,x_{2}=26$ (不符合题意, 舍去), 此时纸盒的体积为 $4×484 = 1936(\mathrm{~cm}^{3})$. 答: 将要剪去的小正方形的边长为 $4\mathrm{~cm}$, 这个纸盒的体积为 $1936\mathrm{~cm}^{3}$.