《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

11. 已知二次函数$y = a(x + h)^2 + k$，其中$a ＞ 0$，$h ＜ 0$，$k ＜ 0$，则函数大致图象是（A）

答案： A

12. 已知点$A(m - 1,y_1)$，$B(m,y_2)$都在二次函数$y = (x - 1)^2 + n$的图象上。若$y_1 ＜ y_2$，则$m$的取值范围为（B）
A. $m ＞ 2$
B. $m ＞ \frac{3}{2}$
C. $m ＜ 1$
D. $\frac{3}{2} ＜ m ＜ 2$

答案： B

13. 若抛物线$y = - 2(x + m - 1)^2 - 3m + 6$的顶点在第二象限，则$m$的取值范围是$1 ＜ m ＜ 2$。

答案： $1 ＜ m ＜ 2$

14. (教材$P_{36}$例4变式)如图是某公园一喷水池，在水池中央有一垂直于地面的喷水柱，喷水时，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下。若水流喷出的高度$y(m)$与水平距离$x(m)$之间的函数关系式为$y = - (x - 1)^2 + 2.25$。
(1)求喷出的水流离地面的最大高度为2.25m；
(2)求喷嘴离地面的高度为1.25m；
(3)若把喷水池改成圆形，则水池半径至少为2.5m时，才能使喷出的水流不落在水池外？

答案： 解：
(1)喷出的水流离地面的最大高度为$2.25m$；
(2)当$x = 0$时，$y = -(0 - 1)^2 + 2.25 = 1.25$，即喷嘴离地面的高度为$1.25m$；
(3)令$y = 0$，即$0 = -(x - 1)^2 + 2.25$，解得$x_1 = -0.5$（舍去），$x_2 = 2.5$。$\therefore$水池半径至少为$2.5m$时，才能使喷出的水流不落在水池外。

15. 新视角 新定义 如图，抛物线$y = a(x - h)^2 + k(a ＜ 0,k ＞ 0)$的顶点为$A$，对称轴与$x$轴交于点$C$，当以$AC$为对角线的正方形$ABCD$的另外两个顶点$B$，$D$恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形$ABCD$为它的内接正方形。
(1)当抛物线$y = ax^2 + 2$是“美丽抛物线”时，$a$的值为-1；
(2)当抛物线$y = - \frac{1}{2}(x - 1)^2 + k$是“美丽抛物线”时，$k$的值为4；
(3)若抛物线$y = a(x - h)^2 + k$是“美丽抛物线”，求$a$，$k$之间的数量关系。

答案： 解：
(1)$-1$
(2)$4$
(3)易得抛物线经过点$(h + \frac{1}{2}k,\frac{1}{2}k)$，$\therefore \frac{1}{2}k = a(h + \frac{1}{2}k - h)^2 + k$，化简，得$\frac{1}{4}ak^2 + \frac{1}{2}k = 0$。$\because k \neq 0$，$\therefore ak = -2$，故$a$，$k$之间的数量关系为$ak = -2$。