《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

10. （教材$P_{80}$例1变式）下列四边形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形. 其中，四个顶点在同一个圆上的有 （B）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： B

11. 如图，AB为$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，已知$∠BOC=70^{\circ}$，$AD// OC$，则$∠AOD$的度数为 （A）

A. $40^{\circ}$
B. $50^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $70^{\circ}$

答案： A

12. 如图，AB是$\odot O$的弦，C是$\overset{\frown}{ADB}$上的一个动点（点C不与点A，B重合），$CH⊥AB$，垂足为H，M是BC的中点. 若$\odot O$的半径是3，则MH长的最大值是 （A）

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

答案： A

13. 如图，将两个正方形如图放置（B，C，E共线，D，C，G共线），若$AB=3$，$EF=2$，点O在线段BC上，以OF为半径作半圆O，点A，点F都在半圆O上，则OD的长是______$\sqrt{10}$.

答案： $\sqrt{10}$

14. （教材$P_{81}$练习$T_{3}$变式）如图，BD，CE分别是$\triangle ABC$的两条高.
求证：点E，B，C，D在同一个圆上.
证明：取 $ BC $ 的中点 $ O $，连接 $ OD $，$ OE $。在 $ Rt△BDC $ 和 $ Rt△BEC $ 中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得 $ OD = \frac{1}{2}BC = OE = OB = OC $，$\therefore$ 点 $ E $，$ B $，$ C $，$ D $ 在同一个圆上。

答案： 证明：取 $ BC $ 的中点 $ O $，连接 $ OD $，$ OE $。在 $ Rt△BDC $ 和 $ Rt△BEC $ 中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得 $ OD = \frac{1}{2}BC = OE = OB = OC $，$\therefore$ 点 $ E $，$ B $，$ C $，$ D $ 在同一个圆上。

15. （教材$P_{90}$习题$T_{13}$变式）如图，四边形ABCO是菱形，点A，B，C在$\odot O$上，若$\odot O$的半径是6，求弦AC的长.

解：连接 $ OB $，交 $ AC $ 于点 $ D $。$\because$ 四边形 $ ABCO $ 是菱形，$\therefore OA = AB $，$ OB ⊥ AC $，$ AC = 2AD $。$\because OA = OB $，$\therefore OA = OB = AB $，$\therefore △AOB$ 是等边三角形，$\therefore ∠AOB = 60^{\circ} $。在 $ Rt△AOD $ 中，$ ∠OAD = 90^{\circ} - ∠AOD = 30^{\circ} $，$\therefore OD = \frac{1}{2}OA = 3 $，$\therefore AD = \sqrt{OA^{2} - OD^{2}} = \sqrt{6^{2} - 3^{2}} = 3\sqrt{3} $，$\therefore AC = 2AD = 6\sqrt{3} $。

答案： 解：连接 $ OB $，交 $ AC $ 于点 $ D $。$\because$ 四边形 $ ABCO $ 是菱形，$\therefore OA = AB $，$ OB ⊥ AC $，$ AC = 2AD $。$\because OA = OB $，$\therefore OA = OB = AB $，$\therefore △AOB$ 是等边三角形，$\therefore ∠AOB = 60^{\circ} $。在 $ Rt△AOD $ 中，$ ∠OAD = 90^{\circ} - ∠AOD = 30^{\circ} $，$\therefore OD = \frac{1}{2}OA = 3 $，$\therefore AD = \sqrt{OA^{2} - OD^{2}} = \sqrt{6^{2} - 3^{2}} = 3\sqrt{3} $，$\therefore AC = 2AD = 6\sqrt{3} $。

16. 如图，已知正方形ABCD在$\odot O$内部，顶点B，C在圆上，A，D在直径上.
（1）求证：$OA=OD$；
（2）在正方形ABCD右侧再作一个小正方形EDGF，且点F在$\odot O$上，若正方形EDGF的边长为4，求$\odot O$的半径为$4\sqrt{5}$.

答案： 解：
(1) $\because$ 四边形 $ ABCD $ 是正方形，$\therefore AB = DC = AD $，$ ∠BAO = ∠CDO = 90^{\circ} $。在 $ Rt△ABO $ 和 $ Rt△DCO $ 中，$\begin{cases} OB = OC, \\ AB = DC, \end{cases}$$\therefore Rt△ABO ≌ Rt△DCO(HL) $，$\therefore OA = OD $；
(2) 设正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ a $。由
(1)，得 $ OA = OD = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}a $，$\therefore$ 在 $ Rt△COD $ 中，由勾股定理，得 $ OF = OC = \sqrt{OD^{2} + CD^{2}} = \sqrt{(\frac{1}{2}a)^{2} + a^{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2}a $。$\because$ 正方形 $ EDGF $ 的边长为 4，$\therefore ∠DGF = 90^{\circ} $，$ DG = FG = 4 $。在 $ Rt△OGF $ 中，由勾股定理，得 $ FG^{2} + OG^{2} = OF^{2} $，$\therefore 4^{2} + (\frac{1}{2}a + 4)^{2} = (\frac{\sqrt{5}}{2}a)^{2} $，解得 $ a = 8 $ 或 $ a = -4 $（舍去），$\therefore a = 8 $，$\therefore OC = \frac{\sqrt{5}}{2}a = 4\sqrt{5} $，即 $ ⊙O $ 的半径为 $ 4\sqrt{5} $。