《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

1. 某校组织部分学生春游,人数x与费用y(元)之间满足$y = 2x^{2}-600x + 50000$,则当人数为150时,总费用最少,最少费用为5000元.

答案： 150 5000

2. 某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元$(20\leqslant x\leqslant 30$,且x为整数)出售,可卖出$(30 - x)$件.若使利润最大,则每件商品的售价应为25元.

答案： 25

3. 某种商品每件的进价为10元,若按每件20元的价格销售,则每月能售出360件;若按每件30元的价格销售,则每月能售出60件.假定每月的销售件数y(件)是销售价格x(元)的一次函数.
(1)求y关于x的一次函数解析式;
(2)当销售价格定为每件多少元时,每月获得的利润最大?并求此最大利润.

答案： 解：
(1)设$y = kx + b$，当$x = 20$时，$y = 360$；当$x = 30$时，$y = 60$，$\therefore \left\{\begin{array}{l}20k + b = 360,\\30k + b = 60,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}k = - 30,\\b = 960.\end{array}\right.$ $\therefore y = - 30x + 960(10\leqslant x\leqslant 32)$；
(2)设每月获得的利润为$w$元．$\therefore w = (- 30x + 960)(x - 10) = - 30x^{2} + 1260x - 9600 = - 30(x - 21)^{2} + 3630$．$\because - 30 ＜ 0$，$\therefore$此抛物线的开口向下．$\because 10\leqslant x\leqslant 32$，$\therefore$当$x = 21$时，$w$有最大值，最大值为3630．答：当销售价格定为每件21元时，每月获得的利润最大，最大利润为3630元．

4. 某商场购进一批单价为10元的学具,若按每件15元出售,则每天可销售50件.经调查发现,这种学具的销售单价每提高1元,则每天销售量相应减少5件.设销售单价为x元,每天的销售利润为y元,则y与x的函数关系式为$y = - 5x^{2} + 175x - 1250$.

答案： $y = - 5x^{2} + 175x - 1250$

5. 李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售,这种水果每箱10kg,批发商规定:整箱购买,一箱起售,每人一天购买不超过10箱;当购买1箱时,批发价为8.2元/kg,每多购买1箱,批发价每千克降低0.2元.根据李大爷的销售经验,这种水果售价为12元/kg时,每天可销售1箱;售价每千克降低0.5元,每天可多销售1箱.
(1)请求出这种水果批发价y(元/kg)与每天购进数量x(箱)之间的函数关系式;
(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完,请你计算,李大爷每天应购进这种水果多少箱,才能使每天所获利润最大?最大利润是多少?

答案： 解：
(1)根据题意，得$y = 8.2 - 0.2(x - 1) = - 0.2x + 8.4(1\leqslant x\leqslant 10,x$为整数)；
(2)设李大爷每天所获利润是$w$元．根据题意，得$w = [12 - 0.5(x - 1) - (- 0.2x + 8.4)]\times 10x = - 3x^{2} + 41x = - 3\left(x - \frac{41}{6}\right)^{2} + \frac{1681}{12}$．$\because - 3 ＜ 0$，$\therefore$此抛物线的开口向下．$\because x$为正整数，$\therefore$当$x = 7$时，$w$有最大值，$w_{\text{最大}} = - 3\times 7^{2} + 41\times 7 = 140$．答：李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润是140元．