《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

1. 数学思想 整体思想 若关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx - 4 = 0$的一个根是$x = 1$，则代数式$2027 - a - b$的值为（B）
A. $-2023$
B. $2023$
C. $-2024$
D. $2024$

答案： B

2. 若关于$x$的方程$x^{2}+4kx + 2k^{2}=4$的一个解是$-2$，则$k$的值为0 或 4．

答案： 0 或 4

3. 用配方法解方程$x^{2}-2x = 2$时，配方后正确的是（C）
A. $(x + 1)^{2}=3$
B. $(x + 1)^{2}=6$
C. $(x - 1)^{2}=3$
D. $(x - 1)^{2}=6$

答案： C

4. 一元二次方程$x^{2}-4x + 3 = 0$配方为$(x - 2)^{2}=k$，则$k$的值是______1．

答案： 1

5. 新视角 开放性题 在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的四种解法，它们分别是直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．（若选四个解，则以前两个给分）
（1）$x^{2}+2x - 1 = 0$；移项, 得 $x^{2}+2x = 1$. 配方, 得 $x^{2}+2x + 1^{2}=1 + 1^{2},(x + 1)^{2}=2$. 由此可得 $x + 1=\pm\sqrt{2},x_{1}=-1+\sqrt{2},x_{2}=-1-\sqrt{2}$
（2）$x^{2}-3x = 0$；因式分解, 得 $x(x - 3)=0$. 于是得 $x = 0$, 或 $x - 3 = 0,x_{1}=0,x_{2}=3$
（3）$x^{2}-4x = 4$；配方, 得 $x^{2}-4x + 2^{2}=4 + 2^{2}$, $(x - 2)^{2}=8$. 由此可得 $x - 2=\pm2\sqrt{2},x_{1}=2 + 2\sqrt{2},x_{2}=2 - 2\sqrt{2}$
（4）$x^{2}-x - 4 = 0$.$a = 1,b = -1,c = -4,\Delta=b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×1×(-4)=17＞0$, 方程有两个不等的实数根. $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}$, 即 $x_{1}=\frac{1+\sqrt{17}}{2},x_{2}=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$(任选两个即可)

答案： 解:
(1) 移项, 得 $x^{2}+2x = 1$. 配方, 得 $x^{2}+2x + 1^{2}=1 + 1^{2},(x + 1)^{2}=2$. 由此可得 $x + 1=\pm\sqrt{2},x_{1}=-1+\sqrt{2},x_{2}=-1-\sqrt{2}$;
(2) 因式分解, 得 $x(x - 3)=0$. 于是得 $x = 0$, 或 $x - 3 = 0,x_{1}=0,x_{2}=3$;
(3) 配方, 得 $x^{2}-4x + 2^{2}=4 + 2^{2}$, $(x - 2)^{2}=8$. 由此可得 $x - 2=\pm2\sqrt{2},x_{1}=2 + 2\sqrt{2},x_{2}=2 - 2\sqrt{2}$;
(4) $a = 1,b = -1,c = -4,\Delta=b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4\times1\times(-4)=17＞0$, 方程有两个不等的实数根. $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}$, 即 $x_{1}=\frac{1+\sqrt{17}}{2},x_{2}=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$. (任选两个即可)

6. 新视角 新定义 将$4$个数$a$，$b$，$c$，$d$排成$2$行、$2$列，两边各加一条竖线，记成$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$，并规定$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$．例如：$\begin{vmatrix}2&4\\1&3\end{vmatrix}=2×3 - 4×1 = 2$．则$\begin{vmatrix}x&3\\x&x - 1\end{vmatrix}=-3$的根的情况为（C）
A. 只有一个实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 没有实数根

答案： C

7. 若一元二次方程$x^{2}-2x - 1 = 0$的两个根为$m$，$n$，则一次函数$y=(m + n)x + mn$的大致图象是（B）

答案： B

8. 若$m$，$n$是一元二次方程$x^{2}+2x - 1 = 0$的两个实数根，则$m^{2}+4m + 2n$的值是-3．

答案： -3

9. 已知关于$x$的方程$x^{2}+ax + a - 2 = 0$．
（1）当该方程的一个根为$1$时，求$a$的值及该方程的另一个根；
（2）求证：不论$a$取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

答案： 解:
(1) 设方程的另一个根为 $x$, 则由根与系数的关系, 得 $x + 1=-a$, $x\cdot1=a - 2$, 解得 $x=-\frac{3}{2},a=\frac{1}{2}$. 即 $a=\frac{1}{2}$, 该方程的另一个根为 $-\frac{3}{2}$;
(2) $\because\Delta=a^{2}-4(a - 2)=a^{2}-4a + 8=a^{2}-4a + 4 + 4=(a - 2)^{2}+4＞0$, $\therefore$ 不论 $a$ 取何实数, 该方程都有两个不相等的实数根.