《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

4. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $ y = - x ^ { 2 } + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A $，$ B $，与 $ y $ 轴交于点 $ C $．且直线 $ y = x - 6 $ 过点 $ B $，与 $ y $ 轴交于点 $ D $，点 $ C $ 与点 $ D $ 关于 $ x $ 轴对称，点 $ P $ 是线段 $ OB $ 上一动点，过点 $ P $ 作 $ x $ 轴的垂线交抛物线于点 $ M $，交直线 $ BD $ 于点 $ N $．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 若点 $ M $，$ N $ 的坐标分别是 $ ( 2,12 ) $，$ ( 2, - 4 ) $，在 $ y $ 轴上是否存在点 $ Q $，使得以 $ Q $，$ M $，$ N $ 三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点 $ Q $ 的坐标；若不存在，说明理由．
(1) $y=-x^{2}+5x+6$
(2) 存在．点$Q$的坐标为$(0,12)$或$(0,-4)$或$(0,4+2\sqrt{15})$或$(0,4-2\sqrt{15})$

答案： 解：
(1)$y=-x^{2}+5x+6$；
(2)存在．点$Q$的坐标为$(0,12)$或$(0,-4)$或$(0,4+2\sqrt{15})$或$(0,4-2\sqrt{15})$．[解析：当$\angle QMN=90^{\circ}$时，$QM// x$轴，则$Q(0,12)$．当$\angle MNQ=90^{\circ}$时，$NQ// x$轴，则$Q(0,-4)$．当$\angle MQN=90^{\circ}$时，设$Q(0,n)$，则$QM^{2}+QN^{2}=MN^{2}$，即$4+(12-n)^{2}+4+(n+4)^{2}=(12+4)^{2}$，解得$n=4\pm2\sqrt{15}$．$\therefore Q(0,4+2\sqrt{15})$或$Q(0,4-2\sqrt{15})$．综上所述，存在以$Q$，$M$，$N$三点为顶点的三角形是直角三角形，点$Q$的坐标为$(0,12)$或$(0,-4)$或$(0,4+2\sqrt{15})$或$(0,4-2\sqrt{15})$]

5. 如图，抛物线 $ y = - x ^ { 2 } + bx + c $ 经过 $ A ( - 1,0 ) $，$ C ( 0,3 ) $ 两点，并交 $ x $ 轴于另一点 $ B $，点 $ M $ 是抛物线的顶点，直线 $ AM $ 与 $ y $ 轴交于点 $ D $．
(1) 求该抛物线的解析式；
(2) 若点 $ H $ 是 $ x $ 轴上一动点，分别连接 $ MH $，$ DH $，求 $ MH + DH $ 的最小值；
(3) 若点 $ P $ 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点 $ Q $，使得以 $ D $，$ M $，$ P $，$ Q $ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点 $ Q $ 的坐标；若不存在，请说明理由．
(1)$\because$抛物线$y=-x^{2}+bx+c$经过$A(-1,0)$，$C(0,3)$两点，$\therefore\begin{cases}-1-b+c=0,\\c=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=2,\\c=3.\end{cases}$$\therefore$该抛物线的解析式为$y=-x^{2}+2x+3$；
(2)$\because y=-x^{2}+2x+3=-(x-1)^{2}+4$，$\therefore$顶点$M(1,4)$．易得直线$AM$的解析式为$y=2x+2$．当$x=0$时，$y=2$，$\therefore D(0,2)$．作点$D$关于$x$轴的对称点$D'(0,-2)$，连接$D'M$交$x$轴于点$H$．此时$MH+DH$的值最小，为$D'M$．$\because D'M=\sqrt{(1-0)^{2}+(4+2)^{2}}=\sqrt{37}$，$\therefore MH+DH$的最小值为$\sqrt{37}$；
(3)由(2)，得$D(0,2)$，$M(1,4)$．$\because$点$P$是抛物线上一动点，$\therefore$设$P(m,-m^{2}+2m+3)$．$\because$抛物线$y=-x^{2}+2x+3$的对称轴为直线$x=1$，$\therefore$设点$Q(1,n)$．当$DM$，$PQ$为对角线时，$DM$，$PQ$的中点重合，$\therefore\begin{cases}0+1=m+1,\\2+4=-m^{2}+2m+3+n,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=0,\\n=3.\end{cases}$$\therefore Q(1,3)$；当$DP$，$MQ$为对角线时，$DP$，$MQ$的中点重合，$\therefore\begin{cases}0+m=1+1,\\2-m^{2}+2m+3=4+n,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=2,\\n=1.\end{cases}$$\therefore Q(1,1)$；当$DQ$，$PM$为对角线时，$DQ$，$PM$的中点重合，$\therefore\begin{cases}0+1=1+m,\\2+n=4-m^{2}+2m+3,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=0,\\n=5.\end{cases}$$\therefore Q(1,5)$；综上所述，在对称轴上存在点$Q$，使得以$D$，$M$，$P$，$Q$为顶点的四边形是平行四边形，点$Q$的坐标为$(1,3)$或$(1,1)$或$(1,5)$．

答案： 解：
(1)$\because$抛物线$y=-x^{2}+bx+c$经过$A(-1,0)$，$C(0,3)$两点，$\therefore\begin{cases}-1-b+c=0,\\c=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=2,\\c=3.\end{cases}$$\therefore$该抛物线的解析式为$y=-x^{2}+2x+3$；
(2)$\because y=-x^{2}+2x+3=-(x-1)^{2}+4$，$\therefore$顶点$M(1,4)$．易得直线$AM$的解析式为$y=2x+2$．当$x=0$时，$y=2$，$\therefore D(0,2)$．作点$D$关于$x$轴的对称点$D'(0,-2)$，连接$D'M$交$x$轴于点$H$．此时$MH+DH$的值最小，为$D'M$．$\because D'M=\sqrt{(1-0)^{2}+(4+2)^{2}}=\sqrt{37}$，$\therefore MH+DH$的最小值为$\sqrt{37}$；
(3)由
(2)，得$D(0,2)$，$M(1,4)$．$\because$点$P$是抛物线上一动点，$\therefore$设$P(m,-m^{2}+2m+3)$．$\because$抛物线$y=-x^{2}+2x+3$的对称轴为直线$x=1$，$\therefore$设点$Q(1,n)$．当$DM$，$PQ$为对角线时，$DM$，$PQ$的中点重合，$\therefore\begin{cases}0+1=m+1,\\2+4=-m^{2}+2m+3+n,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=0,\\n=3.\end{cases}$$\therefore Q(1,3)$；当$DP$，$MQ$为对角线时，$DP$，$MQ$的中点重合，$\therefore\begin{cases}0+m=1+1,\\2-m^{2}+2m+3=4+n,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=2,\\n=1.\end{cases}$$\therefore Q(1,1)$；当$DQ$，$PM$为对角线时，$DQ$，$PM$的中点重合，$\therefore\begin{cases}0+1=1+m,\\2+n=4-m^{2}+2m+3,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=0,\\n=5.\end{cases}$$\therefore Q(1,5)$；综上所述，在对称轴上存在点$Q$，使得以$D$，$M$，$P$，$Q$为顶点的四边形是平行四边形，点$Q$的坐标为$(1,3)$或$(1,1)$或$(1,5)$．