《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

1. 已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（B）

A. $ y = x ^ { 2 } - 2 x + 3 $
B. $ y = x ^ { 2 } - 2 x - 3 $
C. $ y = x ^ { 2 } + 2 x - 3 $
D. $ y = x ^ { 2 } + 2 x + 3 $

答案： B

2. (教材$ \mathbf { P } _ { 4 0 } $练习$ \mathbf { T } _ { 2 } $变式)已知二次函数$ y = a x ^ { 2 } + b x + c $，当$ x = 1 $时，$ y = 0 $；当$ x = 0 $时，$ y = 1 $；当$ x = - 1 $时，$ y = 6 $.求这个二次函数的解析式.
解：由题意，得$\left\{\begin{array}{l} a+b+c=0,\\ c=1,\\ a-b+c=6,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=2,\\ b=-3,\\ c=1.\end{array}\right. $∴这个二次函数的解析式为$y=2x^{2}-3x+1$.

答案： 解：由题意，得$\left\{\begin{array}{l} a+b+c=0,\\ c=1,\\ a-b+c=6,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=2,\\ b=-3,\\ c=1.\end{array}\right. $
∴这个二次函数的解析式为$y=2x^{2}-3x+1$.

3. 已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（C）

A. $ y = \frac { 1 } { 2 } ( x - 2 ) ^ { 2 } + 3 $
B. $ y = \frac { 1 } { 2 } ( x - 2 ) ^ { 2 } - 3 $
C. $ y = - \frac { 1 } { 2 } ( x - 2 ) ^ { 2 } + 3 $
D. $ y = - \frac { 1 } { 2 } ( x - 2 ) ^ { 2 } - 3 $

答案： C

4. 新视角 结论开放题 已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为$ ( 0 , - 1 ) $，那么这个二次函数的解析式可以是$y=2x^{2}-1$（答案不唯一）.（只需写一个）

答案： $y=2x^{2}-1$（答案不唯一）

5. 若二次函数$ y = a x ^ { 2 } + b x + c $的$ x $与$ y $的部分对应值如下表.
| $ x $ | $ \cdots $ | $ - 7 $ | $ - 6 $ | $ - 5 $ | $ - 4 $ | $ - 3 $ | $ - 2 $ | $ \cdots $ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $ y $ | $ \cdots $ | $ - 27 $ | $ - 13 $ | $ - 3 $ | $ 3 $ | $ 5 $ | $ 3 $ | $ \cdots $ |
则该二次函数的解析式为$y=-2(x+3)^{2}+5$（或$y=-2x^{2}-12x-13$）.

答案： $y=-2(x+3)^{2}+5$（或$y=-2x^{2}-12x-13$）

6. 已知某二次函数的图象经过点$ ( 2 , - 6 ) $，当$ x = 1 $时，函数的最大值为$ - 4 $，求此二次函数的解析式.

答案： 解：
∵当$x=1$时，函数的最大值为-4，
∴抛物线的顶点坐标为$(1,-4)$. 设所求二次函数的解析式为$y=a(x-1)^{2}-4$. 把点$(2,-6)$代入，得$a×(2-1)^{2}-4=-6$，解得$a=-2$.
∴此二次函数的解析式为$y=-2(x-1)^{2}-4$.

7. (教材$ \mathbf { P } _ { 5 7 } $复习题$ \mathbf { T } _ { 6 ( 2 ) } $变式)如图，抛物线的函数解析式是（D）

A. $ y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - x + 4 $
B. $ y = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - x + 4 $
C. $ y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + x + 4 $
D. $ y = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + x + 4 $

答案： D

8. 已知一抛物线与$ x $轴交于点$ A ( - 2 , 0 ) $，$ B ( 1 , 0 ) $，且经过点$ C ( 2 , 8 ) $，求这条抛物线的函数解析式.

答案： 解：由题意，设抛物线的函数解析式为$y=a(x+2)(x-1)$. 将$C(2,8)$代入，得$4a=8$，解得$a=2$.
∴这条抛物线的函数解析式为$y=2(x+2)(x-1)$，即$y=2x^{2}+2x-4$.

9. 已知抛物线过点$ A ( 2 , 0 ) $，$ B ( - 1 , 0 ) $，与$ y $轴交于点$ C $，且$ O C = 2 $，则这条抛物线的函数解析式为$y=x^{2}-x-2$或$y=-x^{2}+x+2$.

答案： $y=x^{2}-x-2$或$y=-x^{2}+x+2$