《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

9. 一次函数$y=kx+b$的图象如图所示,则关于x的一元二次方程$x^{2}+bx+k-1=0$的根的情况是（C）

A. 没有实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 无法确定

答案： C

10. 新视角 新定义 对于实数a,b定义新运算:$a※b=ab^{2}-b$.若关于x的方程$2※x=k$有两个相等的实数根,则k的值为$ - \frac { 1 } { 8 } $.

答案： $ - \frac { 1 } { 8 } $

11. 已知a,b,c是三角形的三边长,且关于x的方程$(a+b)x^{2}+2cx+(a-b)=0$有两个相等的实数根,则该三角形是直角三角形.

答案： 直角

12. 新视角 条件开放题 设一元二次方程$x^{2}+bx+c=0$.在下面的四组条件中选择其中一组b,c的值,使这个方程有两个不相等的实数根,并解这个方程.
①$b=2,c=1;$
②$b=3,c=1;$
③$b=3,c=-1;$
④$b=2,c=2.$
选择②(或③)，方程的解为$x _ { 1 } = \frac { - 3 + \sqrt { 5 } } { 2 } $，$ x _ { 2 } = \frac { - 3 - \sqrt { 5 } } { 2 } $(或$ x _ { 1 } = \frac { - 3 + \sqrt { 13 } } { 2 } $，$ x _ { 2 } = \frac { - 3 - \sqrt { 13 } } { 2 } $)

答案： 解：
∵ 使方程有两个不相等的实数根，
∴ $ \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = b ^ { 2 } - 4 c ＞ 0 $，即 $ b ^ { 2 } ＞ 4 c $，
∴ ②③均可。选②解方程，则这个方程为 $ x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0 $，
∴ $ x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { - 3 \pm \sqrt { 5 } } { 2 } $，
∴ $ x _ { 1 } = \frac { - 3 + \sqrt { 5 } } { 2 } $，$ x _ { 2 } = \frac { - 3 - \sqrt { 5 } } { 2 } $；选③解方程，则这个方程为 $ x ^ { 2 } + 3 x - 1 = 0 $，
∴ $ x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { - 3 \pm \sqrt { 13 } } { 2 } $，
∴ $ x _ { 1 } = \frac { - 3 + \sqrt { 13 } } { 2 } $，$ x _ { 2 } = \frac { - 3 - \sqrt { 13 } } { 2 } $。

13. (2024·广东广州)关于x的方程$x^{2}-2x+4-m=0$有两个不等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)化简:$\frac {1-m^{2}}{|m-3|}÷\frac {m-1}{2}\cdot \frac {m-3}{m+1}.$

答案： 解：
(1) 根据题意，得 $ \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 2 ) ^ { 2 } - 4 ( 4 - m ) = 4 m - 12 ＞ 0 $，解得 $ m ＞ 3 $；
(2)
∵ $ m ＞ 3 $，
∴ $ m - 3 ＞ 0 $，
∴ $ \frac { 1 - m ^ { 2 } } { | m - 3 | } \div \frac { m - 1 } { 2 } \cdot \frac { m - 3 } { m + 1 } = \frac { ( 1 + m ) ( 1 - m ) } { m - 3 } \cdot \frac { 2 } { m - 1 } \cdot \frac { m - 3 } { m + 1 } = - 2 $。

14. 已知关于x的一元二次方程$(2a+c)x^{2}+4bx+2a-c=0$,其中a,b,c分别为$△ABC$三边的长.
(1)如果$x=-1$是方程的根,试判断$△ABC$的形状,并说明理由;
解：$△ABC$是等腰三角形。理由如下：把$x=-1$代入原方程，得$2a+c-4b+2a-c=0$，∴$4a-4b=0$，∴$a=b$，∴$△ABC$是等腰三角形；
(2)如果$△ABC$是等边三角形,试用公式法求这个一元二次方程的根.
解：当$△ABC$是等边三角形时，$a=b=c$，∴原方程可化为$(2a+a)x^{2}+4ax+2a-a=0$，∴$3ax^{2}+4ax+a=0$。又∵$a＞0$，∴$3x^{2}+4x+1=0$，∴$\Delta=4^{2}-4×3×1=4＞0$，∴$x=\frac{-4\pm\sqrt{4}}{2×3}=\frac{-2\pm1}{3}$。即$x_{1}=-1$，$x_{2}=-\frac{1}{3}$。

答案： 解：
(1) $ \triangle ABC $ 是等腰三角形。理由如下：把 $ x = - 1 $ 代入原方程，得 $ 2 a + c - 4 b + 2 a - c = 0 $，
∴ $ 4 a - 4 b = 0 $，
∴ $ a = b $，
∴ $ \triangle ABC $ 是等腰三角形；
(2) 当 $ \triangle ABC $ 是等边三角形时，$ a = b = c $，
∴ 原方程可化为 $ ( 2 a + a ) x ^ { 2 } + 4 a x + 2 a - a = 0 $，
∴ $ 3 a x ^ { 2 } + 4 a x + a = 0 $。又
∵ $ a ＞ 0 $，
∴ $ 3 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0 $，
∴ $ \Delta = 4 ^ { 2 } - 4 \times 3 \times 1 = 4 ＞ 0 $，
∴ $ x = \frac { - 4 \pm \sqrt { 4 } } { 2 \times 3 } = \frac { - 2 \pm 1 } { 3 } $。即 $ x _ { 1 } = - 1 $，$ x _ { 2 } = - \frac { 1 } { 3 } $。