《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

9.[2024·苏州]如图，在△ABC中，AB = 4$\sqrt{2}$，D为AB中点，∠BAC = ∠BCD，cos∠ADC = $\frac{\sqrt{2}}{4}$，⊙O是△ACD的外接圆.
(1)求BC的长；
(2)求⊙O的半径.

答案：
解:
(1)
∵∠BAC=∠BCD,∠B=∠B,
∴△BAC∽△BCD,
∴$\frac{BC}{BD}$=$\frac{BA}{BC}$,
∵AB=4√2,D为AB中点,
∴BD=AD=2√2,
∴BC=4;
(2)过点A作AE⊥CD于点E,连接CO并延长,交⊙O于点F,连接AF,
∵在Rt△AED中,
　cosCDA=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{√2}{4}$,
　　　　　　　　　　　
AD=2√2,
∴DE=1,
∴AE=　$\sqrt{AD²−DE2}$=√,
∵△BAC∽△BCD,
∴$\frac{AC}{CD}$=$\frac{AB}{BC}$=√2,
　设CD=x,则AC=√2x,CE=x−1,
∵在Rt△ACE中,AC2=CE²+AE²,
∴(√2x)²=(x−1)²+(√7)²,
　即x²+2x−8=0,
　解得x=2,x=−4(舍去),
∴CD=2,AC=2√2,
∵∠AFC与∠ADC都是AC所对的圆周角,
∴∠AFC=∠ADC,
∵CF为⊙O的直径,
∴∠CAF=90°,
∴sin∠AFC=$\frac{AC}{CF}$=sin∠CDA=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{\sqrt{14}}{4}$,
∴CF=$\frac{8√7}{7}$,即⊙0的半径为孥.

10.[2024·安徽]如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA = FE.
(1)求证：CD⊥AB；
(2)设FM⊥AB，垂足为M，若OM = OE = 1，求AC的长.

答案： 解:
(1)证明:
∵FA=FE,
　
∴∠FAE=∠AEF,
　
∵∠FAE与∠BCE都是BF所对的圆周角,
∴∠FAE=∠BCE,
　
∵∠AEF=∠CEB,
∴∠CEB=∠BCE,
∵CE平分∠ACD,
　
∴∠ACE=∠DCE,
　
∵AB是直径，
　
∴∠ACB=90°,
　
∴∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=
　∠ACB=90°,
　
∴∠CDE=90°,
　
∴CD⊥AB;
(2)由
(1),得∠BEC=∠BCE,
　
∴BE=BC,
　
∵AF=EF,FM⊥AB,
　
∴MA=ME=2,AE=4,
　
∴圆的半径OA=OB=AE−OE=3,
　
∴BC=BE=OB−OE=2,
　　在△ABC中,AB=6,BC=2,∠ACB=90°,
∴AC=√AB²−BC=　$\sqrt{62−22}$=4√2.