《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

1.[2024·锦州二模]如图，A是△CDE外接⊙O上一点，且$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AE}$，过点A的直径AB交DE于点F，交CE于点H，延长DC交AB的延长线于点P，连接DH.

(1)求证：∠ADH = ∠AEH；
(2)若DH⊥EC，∠P = 15°，AB = 4，求DC的长.

答案：
解:
(1)证明:
∵AD=AE,AB为直径,
∴AD=AE,
∴AB垂直平分DE.
∴DH=EH.
∵AH=AH,
∴△ADH≌△AEH(SSS).
∴∠ADH=∠AEH;
(2)连接OD,OE,
　　　　　
∵DH⊥EC,DH=EH,
∴∠DHF=∠EHF=45°,∠CHP=
　∠EHF=45°.
∵∠P=15°,
∴∠DCH=60°。.
∴∠DOE=2∠DCE=120°.
∵DO=EO,
∴∠EDO=∠DEO=30°,
　在Rt△OEF中,
∵OE=$\frac{1}{2}$AB=2,∠DEO=30°,
∴OF=$\frac{1}{2}$OE=1.
∴由勾股定理,得EF=　$\sqrt{OE−OF}$=√3.在Rt△HEF中,
∵∠EHF=45°,
∴EH=√2EF=√6;
∴DH=EH=$\sqrt{6}$
∵∠FOE=180°−∠EFO−DEO=60°,
∴∠FOE=∠DCH.
∵∠EFO=∠DHC=90°,
∴△EFO∽△DHC;
∴$\frac{EF}{EO}$=$\frac{DH}{DC}$,即$\frac{√3}{2}$DC
∴DC=2√2.

2.如图，在直角坐标系中，直线y = x - 4与坐标轴相交于点A，B，过点O，A的⊙E与该直线相交于点C，连接OE，OE = 2.5.
(1)求点E到x轴的距离；
(2)连接OC，求OC的长.

答案：
解:
(1)过点E作EH⊥x轴于点H,如图,当y=0时,x−4=0,解得x=4,
∴A(4,0),OA=4,
∵EH⊥OA,
∴OH=AH=$\frac{1}{2}$OA=2,
　在Rt△OHE中,
　EH=　$\sqrt{OE²−OH²}$=　$\sqrt{2.52−22}$=$\frac{3}{2}$,
∴点E到r轴的距离为$\frac{3}{2}$;
　　　　　　　
(2)连接OC,CE,如图,
　当x=0時,y=x−4=−4,
∴B(0,−4),
∵OA=OB=4,
∴△OAB为等腰直角三角形,
∴∠OAB=45°,
∴∠OEC=2∠0AB=90°,
∴△OEC为等腰直角三角形,
∴OC=$\sqrt{2}$OE=.