《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

12.[2024·娄星区一模]如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离(图1).为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量.某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离.方案如下：

请你根据表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离.（结果精确到0.1 cm，参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）

答案：
解:过点A作AF⊥MN,垂足为F,
　设BF = x cm，
∵BC = 7.5 cm，
∴CF = BC + BF = (x + 7.5)cm，
　在Rt△ABF中，∠ABF = ∠DBN = 35°，
∴AF = BF·tan35°≈0.7x(cm)，
　在Rt△ACF中，∠ACF = ∠ECN = 22°，
∴AF = CF·tan22°≈0.4(x + 7.5)cm，
∴0.7x = 0.4(x + 7.5)，解得x = 10，
∴AF = 0.7x = 7.0(cm)，
∴新生物A处到皮肤的距离约为7.0 cm.
　　　　　　　

13.[2023·鄂州]鄂州市莲花山是国家4A级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐.今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动.如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部F点沿水平方向步行30米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端E的仰角为30°；接着他沿自动扶梯AD到达扶梯顶端D点，测得点A和点D的水平距离为15米，且tan∠DAB=$\frac{4}{3}$；然后他从D点又沿水平方向行走了45米到达C点，在C点测得条幅上端G的仰角为45°.（图上各点均在同一个平面内，且G，C，B共线，F，A，B共线，G，E，F共线，CD//AB，GF⊥FB）
（1）求自动扶梯AD的长度；
（2）求大型条幅GE的长度.（结果保留根号）

答案：
解:
(1)过点D作DH⊥AB,垂足为H,
　在Rt△ADH中，AH = 15米，tan∠DAB = $\frac{4}{3}$，
∴DH = AH·tan∠DAB = 15×$\frac{4}{3}$ = 20(米)，
∴AD = $\sqrt{AH^{2}+DH^{2}}$ = $\sqrt{15^{2}+20^{2}}$ = 25(米)，
∴自动扶梯AD的长度为25米;
(2)过点C作CM⊥AB,垂足为M,
　由题意，得DC = HM = 45米，DH = CM = 20米，
∵DC//AB，
∴∠DCG = ∠B = 45°，
∴在Rt△CMB中，BM = CM = 20(米)，
∵AF = 30米，AH = 15米，
∴BF = AF + AH + HM + BM = 30 + 15 + 45 + 20 = 110(米).
　在Rt△AFE中，∠EAF = 30°，
∴EF = AF·tan30° = 30×$\frac{\sqrt{3}}{3}$ = 10√3(米).
　在Rt△GFB中，∠B = 45°，
∴GF = BF = 110(米)，
∴GE = GF - EF = (110 - 10√3)米，
∴大型条幅GE的长度为(110 - 10√3)米.