《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

1.[2024·开福区三模]如图，已知抛物线$y=-x^{2}+mx + 3$经过点$M(-2,3)$。
(1)求出此抛物线的表达式；
(2)当$0\leq x\leq1$时，直接写出$y$的取值范围。

答案： 解:
(1)抛物线$y = -x^{2}+mx + 3$经过点$M(-2,3)$，可得$3 = -4 - 2m + 3$。
　解得$m = -2$。
　所以，抛物线的表达式为$y = -x^{2}-2x + 3$；
(2)抛物线的对称轴$x = -\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{-2} = -1$，开口向下，
　可知当$x\geq -1$时，$y$随$x$的增大而减小。当$x = 0$时，$y = 3$。当$x = 1$时，$y = 0$。
　所以，当$0\leq x\leq1$时，$y$的取值范围为$0\leq y\leq3$。

2.[2023·南阳二模]如图，抛物线$y = x^{2}+bx + c$与$x$轴交于$A,B$两点，与$y$轴交于点$C$，抛物线的顶点为$P$，已知点$B(1,0),C(0,-3)$。
(1)求抛物线的表达式；
(2)当$-3\leq x\leq0$时，求$y$的最大值与最小值；
(3)点$M$是抛物线上一动点，且到$x$轴的距离小于$3$，请直接写出点$M$的横坐标$x_{M}$的取值范围。

答案： 解:
(1)
∵抛物线$y = x^{2}+bx + c$经过点$B(1,0)$，$C(0,-3)$，
∴$\begin{cases}0 = 1 + b + c\\-3 = c\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = 2\\c = -3\end{cases}$，
∴抛物线的表达式为$y = x^{2}+2x - 3$；
(2)
∵$y = x^{2}+2x - 3=(x + 1)^{2}-4$，
∴抛物线的对称轴为直线$x = -1$，开口向上。
∵$-3\leq x\lt0$，
∴当$x = -1$时，$y = -4$，当$x = -3$时，$y = 0$，当$x = 0$时，$y = -3$，
∴$y$的最大值为$0$，最小值为$-4$；
(3)
∵点$M$是抛物线上一动点，且到$x$轴的距离小于$3$，
∴$-3\lt x^{2}+2x - 3\lt3$。
　当$x^{2}+2x - 3 = -3$时，解得$x = 0$或$x = -2$。当$x^{2}+2x - 3 = 3$时，
　解得$x = -1\pm\sqrt{7}$，
　由图象可知，当$-3\lt x^{2}+2x - 3\lt3$时，
　$x$的取值范围为$0\lt x\lt\sqrt{7}-1$或$-1 - \sqrt{7}\lt x\lt -2$，
∴当点$M$到$x$轴的距离小于$3$时，点$M$的横坐标$x_{M}$的取值范围为$0\lt x_{M}\lt\sqrt{7}-1$或$-1 - \sqrt{7}\lt x_{M}\lt -2$。

3.已知二次函数的图象的顶点是$(1,-2)$，且经过点$(0,-5)$，则二次函数的表达式是（ ）
A.$y=-3(x + 1)^{2}-2$
B.$y = 3(x + 1)^{2}-2$
C.$y=-3(x - 1)^{2}-2$
D.$y = 3(x - 1)^{2}-2$

答案： C

4.已知抛物线的顶点是$(1,-4)$，且经过点$(-1,2)$，则该抛物线的表达式为________。

答案： $y=\frac{3}{2}(x - 1)^{2}-4$

5.抛物线$y = ax^{2}+bx + c$与$x$轴的两个交点为$(-1,0)$，$(3,0)$，其形状和开口方向与抛物线$y=-2x^{2}$相同，则$y = ax^{2}+bx + c$的函数关系式为（ ）
A.$y=-2x^{2}-x + 3$
B.$y=-2x^{2}+4x + 5$
C.$y=-2x^{2}+4x + 8$
D.$y=-2x^{2}+4x + 6$

答案： D

6.如图，二次函数$y=(x - 1)(x - a)$（$a$为常数）图象的对称轴为直线$x = 2$，向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，则平移后图象所对应的二次函数的表达式为（ ）

A.$y = x^{2}-2x$
B.$y = x^{2}-4x$
C.$y = x^{2}-4x - 3$
D.$y = x^{2}-4x + 3$

答案： B