《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

1. [2024·广西模拟]如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B = 30°，则∠DAC的度数是（ ）


A. 50°
B. 55°
C. 60°
D. 70°

答案： C

2. [2024·四川模拟]如图，△ADC内接于⊙O，点B在弧CD上，连接OD，OD//BC，若∠BCD = 20°，则∠DAC的度数为（ ）


A. 50°
B. 60°
C. 70°
D. 80°

答案： C

3. [2024·福建模拟]如图，△ABC内接于⊙O，若AB = 2$\sqrt{2}$，∠C = 45°，则⊙O的半径为（ ）


A. 1
B. 2
C. $\sqrt{2}$
D. 2$\sqrt{2}$

答案： B

4. [2024·山东模拟]如图，已知△ABC内接于⊙O，AC为直径，半径OD//BC，连接OB，AD. 若∠AOB = 140°，则∠BAD的度数为（ ）


A. 75°
B. 70°
C. 55°
D. 50°

答案： C

5. [2024·湖南模拟]如图，⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA. 若∠ACB = 60°，AB = 4$\sqrt{3}$，则OE的长度为_______.

答案： 2

6. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB = 10，cos∠ABC = $\frac{4}{5}$. 点D是直径AB下方半圆上的一点，CD交AB于点E.
（1）求BC的长；
（2）若BE = BD，求AE的长.

答案：
解:
(1)
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴cos∠ABC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{4}{5}$,
∵AB=10,
∴BC=8;
(2)在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AC=$\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}} = 6$
∵BE=BD,
∴∠BED=∠BDE,
∵∠AEC=∠BED,∠BDE=∠EAC,
∴∠CAE=∠CEA,
∴AC=CE,
　作CH⊥AB于点H,
则AH=EH,
∵cos∠CAH=cos∠CAB,
∴$\frac{AH}{6}$=$\frac{6}{10}$,
∴AH=$\frac{18}{5}$,
∴AE=2AH=$\frac{36}{5}$.
　　　　　　　　　　　　　

7. [2024·黑龙江模拟]如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（－1，0），B（0，1），P（－3，2），若点C是以点P为圆心，1为半径的圆上一点，则△ABC的面积最大值为（ ）


A. 2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B. 2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. 2+$\sqrt{2}$
D. 2

答案：
A　解析:连接PA,延长AP交圆于点K,过点P作PH⊥x轴于点H,
　　　　　　　
∵P的坐标是(－3,2),A的坐标是(－1,0),
∴OH=3,PH=2,OA=1,
∴AH=OH−OA=2,
∴AH=PH,
∴△PAH是等腰直角三角形,
∴∠PAH=45°,
∵B的坐标是(0,1),
∴OB=1,
∴OA=OB,
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°,
∴∠BAK=180°−45°−45°=90°,
∴AK⊥AB,AK过圆心O,
∴当点C与点K重合时，△ABC的面积最大，
∵△APH,△ABO是等腰直角三角形,
∴PA=$\sqrt{2}$AH = 2$\sqrt{2}$,AB=$\sqrt{2}$OA=$\sqrt{2}$,
∵圆的半径是1,
∴AK=2$\sqrt{2}$+1,
∴△ABC的面积的最大值为
　$\frac{1}{2}$AB·AK = 2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$

8. 如图，点A，B的坐标分别为A（6，0），B（0，6），C为坐标平面内一点，BC = 2$\sqrt{2}$，M为线段AC的中点，连接OM，当OM取最大值时，点M的坐标为_______.

答案：
(4,4)　解析:如图,
　　　　　
∵点C为坐标平面内一点,BC=2$\sqrt{2}$,
∴点C在⊙B上,且半径为2$\sqrt{2}$,
　取OD=OA=6,连接CD,
∵AM=CM,
∴OM是△ACD的中位线,
∴OM=$\frac{1}{2}$CD,
　当OM最大时，即CD最大,当C在DB的延长线上时，即点C移动至C'位置时，OM最大,
∵OB=OD=6,∠BOD=90°,
∴BD=6$\sqrt{2}$,
∴C'D=6$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$=8$\sqrt{2}$,C'坐标为(2,8),
∴OM'=$\frac{1}{2}$C'D = 4$\sqrt{2}$,
　即OM的最大值为4$\sqrt{2}$,此时点M坐标为(4,4).