《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 4 cm，BC = 8 cm，点D是AB的中点，连接CD，动点P从点C出发以$\sqrt{5}$ cm/s的速度向终点D运动. 过点P作PE⊥BC于点E，以PE，PD为邻边作平行四边形PDFE. 设点P的运动时间为t(s)，平行四边形PDFE的面积为S(cm²).
（1）求CD的长；
（2）求S关于t的函数表达式，并求出S的最大值.

答案：
解:
(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=
　4cm,BC=8cm,
∴AB=　$\sqrt{42+82}$=4√5(cm).
∵点D是AB中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{5}$cm;
(2)如图,延长DF,交BC于点G.
∵PE⊥BC,AC⊥
BC,
∴PE//AC;
∵四边形PDFE是
　平行四边形，
　　　　　　　　　
∴PE//DG,
∴DG//AC,
∴△BDG∽△BAC,
∴$\frac{DG}{AC}$=$\frac{BG}{BC}$=$\frac{BD}{BA}$=$\frac{1}{2}$,
∴DG=$\frac{1}{2}$AC=2cm,BG=$\frac{1}{2}$BC=4cm,
∴CG=8−4=4(cm).
∵△CPE∽△CDG,
∴$\frac{PE}{DG}$=$\frac{CE}{CG}$=$\frac{CP}{CD}$,
∵CP=√5tcm,
∴PE=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$×√5t=t(cm),
CE=$\frac{4}{2√5}$×$\sqrt{5}$t=2t(cm),
∴EG=(4−2t)cm,
∴S=t(4−2t)=−2t²+4t=−2(t−1)²+2,
∴当t=1s时,S取最大值为2,
∴S关于t的函数表达式为S=−2t2+4t,S
的最大值是2cm².

13. [2024·苏州]如图，△ABC中，AC = BC，∠ACB = 90°，A( - 2，0)，C(6，0)，反比例函数y = $\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）的图象与AB交于点D(m，4)，与BC交于点E.
（1）求m，k的值；
（2）点P为反比例函数y = $\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作PM//AB，交y轴于点M，过点P作PN//x轴，交BC于点N，连接MN，求△PMN面积的最大值，并求出此时点P的坐标.

答案：
解:
(1)
∵A(−2,0),C(6,0),
∴AC=8.又
∵AC=BC,
∴BC=8.
∵∠ACB=90°,
∴点B(6,8).
　设直线AB的函数表达式为y=ax+b,将A−(−2a2+0b)=B0　　　代=ax+b,
　得{6a+b=8,{b=2,
∴直线AB的函数表达式为y=x+2,
　将点D(m,4)代入y=x+2,得m=2,
∴D(2,4),
　将D(2,4)代入y=$\frac{k}{x}$,得k=8;
(2)延长NP交y轴于点Q,交AB于点L.
　　　　　　
∵AC=BC,∠BCA=90°,
∴∠BAC=45°。.
∵PN//x轴,
∴∠BLN=∠BAC=45°,∠NQM=90°.
∵PM//AB,
∴∠MPL=∠BLP=45°,
∴∠QMP=∠QPM=45°,
∴QM=QP.设点P的坐标为(t,$\frac{8}{t}$)(2＜t＜6),
　则PQ=t,PN=6−t.
∴MQ=PQ=t.
∴S△PMN=$\frac{1}{2}$.PN.MQ=$\frac{1}{2}$.(6−t).t=−$\frac{1}{2}$(t−3)²+$\frac{9}{2}$,
∴当t=3时,S△PMN有最大值$\frac{9}{2}$,此时P(3,$\frac{8}{3}$).