《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

10. [2023·莆田期中]如图，点A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，垂足为E. 若∠ADC = 30°，AE = 1，求BC的长.

答案：
解:连接AB,如图所示:
　　　　　　　
　
∵∠ADC=30°,
　
∴∠ABC=∠ADC=30°,
　
∵OA⊥BC,
　
∴CE=BE,
　　在Rt△ABE申,∠AEB=90°,∠ABE=
　　30°,AE=1,
　
∴AB=2AE=2,
　
∴BE=　$\sqrt{AB−AE}$=√3,
　
∴BC=2BE=2$\sqrt{/3}$.

11. [2024·衡阳期末]如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1 = ∠C.
（1）求证：CB//PD；
（2）若BC = 3，sinC = $\frac{2}{3}$，求CD的长.

答案： 解:
(1)
∵∠P=∠C、∠1=∠C,
　
∴∠1=∠P,
　
∴CB//PD;
(2)
∵BC=3,CD⊥AB,sinC=$\frac{2}{3}$=$\frac{BE}{BC}$,
∴BE=2,
　
∵BE²+CE²=BC2,解得CE=√5,
　
∴CD=2CE=2√5.

12. [2024·温州期末]如图，AB，AC，AD是⊙O中的三条弦，点E在AD上，且AB = AC = AE. 连接BC，BD，CD，BE，其中BC交AD于点G.
（1）求证：△ABG∽△ADB；
（2）若∠DBE = α，求∠CAD的度数（用含α的代数式表示）；
（3）若AD = 15，AB = 12，BD = 6，求线段CD的长.

答案： 解:
(1)证明:
∵AB=AC,
　
∴AB=AC,
　
∴∠ABC=∠ADB,
　　又
∵∠BAG=∠DAB,
　
∴△ABG∽△ADB;
(2)
∵AB=AE,
　
∴∠AEB=∠ABE,
　
∴
∵∠ABD=BAEC+,∠A0BA=DBA0=B,∠ABC+∠CBE,
∴∠ABC=∠ACB=∠ADB,
　
∵
∴C∠)DD=BCE)D=,∠CBE=α,
　
∴∠CAD=∠CBD=∠DBE+∠CBE=
　　2α;
(3)
∵△ABG∽△ADB,
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{BG}{BD}$=$\frac{AG}{AB}$,
∵AD=15,AB=12,BD=6,
∴$\frac{12}{15}$=$\frac{BG}{6}$　$\frac{AG}{12}$,
∴BG=$\frac{24}{5}$,AG=$\frac{48}{5}$,
∴DG=AD−AG=$\frac{27}{5}$,
∵∠CAD=∠CBD,
∠ADC=∠GDB,
∴△BDG∽△ADC,
　　　　　　　27
∴$\frac{DG}{BD}$=$\frac{CD}{AD}$,即$\frac{5}{6}$=$\frac{CD}{15}$,
∴CD=$\frac{27}{2}$.