《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

10. [2023·合肥一模]已知抛物线$y = -\frac{1}{2}x^2 + bx + c$与$x$轴交于$A(-1,0)$，$B(4,0)$两点，点$P$是抛物线上一点，若$\tan\angle BAP = 1$，则点$P$的坐标为__________.

答案：
(2,3)或(6,−7)
　　解析:
∵抛物线y=−$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴交于A(−1,0),B(4,0)两点,
　
∴　−$\frac{1}{2}$−b+c=0,解得b=$\frac{3}{2}$,
　　　−8+4b+c=0,　　　　c=2.
　　{　　　　　　　　　　{
　　故抛物线的表达式为y=一$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2,设点P(m,−$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2).
　①当P1在x轴上方抛物线上时,过点P1 作P1C⊥AB于点C.
　　　　　　
　
∴P1C=−$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2,
CA=m−(−1)=m+1.
　
∵tan∠BAP1=1,
∴P1C=AC,
　　即一$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2=m+1,
　　解得m=2,m=−1(舍去),
　
∴−$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2=−$\frac{1}{2}$×2²+$\frac{3}{2}$×2+2=3,
　　故P1(2,3);
　②当P2在x轴下方抛物线上时,过点P2 作P2D⊥AB于点D.
　
∴PD={−$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2|=$\frac{1}{2}$m²−$\frac{3}{2}$m−2,DA=m−(−1)=m+1,
　
∵tan∠BAP2=1,
∴P2D=DA,
　　即$\frac{1}{2}$m²−$\frac{3}{2}$m−2=m+1,
　解得m=6,m=−1(舍去),
∴−$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2=−$\frac{1}{2}$×62+$\frac{3}{2}$×6+2=−7,
　故P2(6,−7).
　综上所述，点P的坐标为(6,−7)或(2,3).

11. [2023·绍兴]已知二次函数$y = -x^2 + bx + c$.
(1)当$b = 4$，$c = 3$时，
①求该函数图象的顶点坐标；
②当$-1\leq x\leq3$时，求$y$的取值范围；
(2)当$x\leq0$时，$y$的最大值为2；当$x\gt0$时，$y$的最大值为3，求二次函数的表达式.

答案： 解:
(1)①
∵b=4,c=3,
　
∴y=−x²+4x+3=−(x−2)²+7,
　
∴顶点坐标为(2,7);
　②
∵−1≤x≤3中含有顶点(2,7),
　
∴当x=2时,y有最大值7.
　
∵2−(−1)＞3−2,
∴当x=−1时,y有最小值−2,
　
∴当−1≤x≤3時,−2≤y≤7;
(2)
∵x≤0时,y的最大值为2;x＞0时,y 的最大值为3,
　
∴抛物线的对称轴r=$\frac{b}{2}$在y轴的右侧,
∴b＞0.
　
∵抛物线开口向下，x≤0时,y的最大值为2,
∴c=2.
　
∵x＞0时，y的最大值为3,
∴$\frac{4×(−1).c−b²}{4×(−1)}$=3,
∴b=±2,
∵b＞0,
∴b=2.
　
∴二次函数的表达式为y=−x²+2x+2.

12. [2023·宁波]如图，已知二次函数$y = x^2 + bx + c$的图象经过点$A(1,-2)$和$B(0,-5)$.
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标；
(2)当$y\leq -2$时，请根据图象直接写出$x$的取值范围.

答案：
解:
(1)把A(1,−2)和B(0,−5)代入y=x²+bx+c,得
　　{c=−5,1+b+c=−2解得{b=2,c=−5,
∴二次函数的表达式为y=x²+2x−5,
∵y=x²+2x−5=(x+1)²−6,
∴顶点坐标为(−1,−6);
(2)如图:
　　　　　　
∵点A(1,−2)关于对称轴直线x=−1的对称点C(−3,−2),
　
∴当y≤−2时,x的取值范围是−3≤x≤1.

13. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标$x$与纵坐标$y$的对应值如表所示：
| $x$ | $\cdots$ | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | $\cdots$ |
| $y$ | $\cdots$ | 0 | -3 | -4 | -3 | 0 | $\cdots$ |


(1)这个二次函数的表达式是__________；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)当$-3\lt x\leq3$时，$y$的取值范围为__________.

答案：
解:
(1)设这个二次函数的表达式是y=ax²+bx+c,
　把点(−3,0),(−2,−3),(0,−3)代入,得9a−3b+c=0,　　　　a=1,
　　4a−2b+c=−3,解得b=2,
　　c=−3,　　　　　　　　c=−3,
　{　　　　　　　　　　　{
∴这个二次函数的表达式是y=x²+2x−3;故答案为:y=x²+2x−3;
(2)画出这个二次函数的图象如图:
　　　　
(3)根据题意,得y=x²+2x−3=(x+1)²−4,
∴当x=−1时,y取得最小值，最小值为−4,当x=−3时,y=0,当x=3时,y=12,
∴当−3＜x≤3时,y的取值范围为−4≤y≤12.故答案为:−4≤y≤12.

14. 如图，抛物线$y = ax^2 + bx + c$经过点$A(-1,0)$，$\tan\angle CAB = 3$，且$OB = OC$.
(1)求抛物线的表达式及其对称轴；
(2)点$P$为抛物线上一点，连接$CP$，直线$CP$把四边形$CBPA$的面积分为3：5两部分，求点$P$的坐标.

答案： 14. 因为$A(-1,0)$，所以$OA = 1$。
　　因为$\tan\angle CAB = 3$，即$\frac{OC}{OA}=3$，所以$OC = 3$。
　　因为$OB = OC$，所以点$B(3,0)$，$C(0,3)$。
　　设抛物线的表达式为$y=a(x + 1)(x - 3)=a(x² - 2x - 3)=ax² - 2ax - 3a$。
　　将$C(0,3)$代入，得$-3a = 3$，解得$a = -1$。
　　故抛物线的表达式为$y=-x² + 2x + 3=-(x - 1)² + 4$，所以抛物线的对称轴为直线$x = 1$。
(2)如图，设直线$CP$交$x$轴于点$E$。
　　因为直线$CP$把四边形$CBPA$的面积分为$3:5$两部分，又因为$S_{\triangle PCB}:S_{\triangle PCA}=\frac{1}{2}EB\cdot(y_C - y_P):\frac{1}{2}AE\cdot(y_C - y_P)=BE:AE$，则$BE:AE = 3:5$或$5:3$。
　　因为$AB=\vert -1 - 3\vert = 4$，所以$AE=\frac{5}{2}$或$\frac{3}{2}$，即点$E$的坐标为$(\frac{3}{2},0)$或$(\frac{1}{2},0)$。
　　设直线$PC$的表达式为$y = kx + b_1$。
　　①将点$E(\frac{3}{2},0)$，$C(0,3)$的坐标代入一次函数表达式，得$\begin{cases}b_1 = 3\\\frac{3}{2}k + b_1 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -2\\b_1 = 3\end{cases}$。
　　此时直线$CP$的表达式为$y = -2x + 3$。
　　联立$\begin{cases}y = -x² + 2x + 3\\y = -2x + 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 4\\y = -5\end{cases}$或$\begin{cases}x = 0\\y = 3\end{cases}$（不符合题意，舍去），所以点$P$的坐标为$(4,-5)$。
　　②将点$E(\frac{1}{2},0)$，$C(0,3)$的坐标代入一次函数表达式，得$\begin{cases}b_1 = 3\\\frac{1}{2}k + b_1 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -6\\b_1 = 3\end{cases}$。
　　故直线$CP$的表达式为$y = -6x + 3$。
　　联立$\begin{cases}y = -x² + 2x + 3\\y = -6x + 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 8\\y = -45\end{cases}$或$\begin{cases}x = 0\\y = 3\end{cases}$（不符合题意，舍去）。
　　综上所述，点$P$的坐标为$(4,-5)$或$(8,-45)$。