《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

10. 若⊙B的半径为5，圆心的坐标为（3，4），点P的坐标为（5，2），试判断P与⊙B的位置关系.

答案： 解:
∵⊙B的圆心坐标为(3,4),半径为5,又
∵点P(5,2),
　
∴BP=　$\sqrt{(3−5)²+(4−2)2}$=2√2,
　
∵2√2＜5,
　
∴点P在⊙B内.

11. 如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB = a，那么⊙O的周长L = πa.
（1）计算：①把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长为L₂ = ________ = ________L；
②把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长L₃ = ________ = ________；
③把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长L₄ = ________ = ________；
④把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长Lₙ = ________ = ________；
（2）请仿照上面的探索方法和步骤，计算并导出：当把大圆直径平均分成n等份时，以每条线段为直径画小圆，那么每个小圆的面积Sₙ与大圆的面积S的关系是：Sₙ = ________S.

答案：
解:
(1)根据L=πd,
∴AB=CQ=3,BC=AQ=4,∠AQC=
　90°,
∴PQ//CN,EQ==3,
∴$\frac{EP}{PN}$=$\frac{EQ}{QC}$=$\frac{3}{3}$=1,
∴PQ=$\frac{1}{2}$CN,
设PQ=x,CN=2x,则AP=4−x，
　　∠EPQ=∠APD,
∵　∠EQP=∠ADP=90°,
　　EQ=AD=3,
　{
∴△EQP≌△ADP(AAS),
∴AP=EP=4−x,
∵EP²=PQ²+EQ²,
∴(4−x)²=x²+3²,
解得x=$\frac{7}{8}$;
∴AP=4−x=$\frac{25}{8}$,CN=2x=$\frac{7}{4}$,
∵PQ//CN,AC=5,
∴△APF∽△CNF,
∴$\frac{AP}{CN}$=$\frac{AF}{CF}$,
∴$\frac{AP+CN}{CN}$=$\frac{AF+CF}{CF}$,
　　$\frac{25}{8}$　$\frac{7}{4}$
∴$\frac{84}{7}$=$\frac{5}{CF}$,
　　　4
解得CF=$\frac{70}{39}$.
(3)C,D,E三点能构成直角三角形.理由如下:
如图2,当AD与AC重合时，此时DE⊥
AC,此时△CDE是直角三角形,
　　　　　　
故SDE=$\frac{1}{2}$CD.DE=$\frac{1}{2}$×(AC−AD)
　×DE=$\frac{1}{2}$×2×4=4;
如图3,当AD在CA的延长线上时,
此时DE⊥AC,此时△CDE是直角三角形,
　　　　
故SDE=$\frac{1}{2}$CD.DE=$\frac{1}{2}$×(AC+AD)
　　　　　第三章.圆
①把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长L2=$\frac{1}{2}$πa=$\frac{1}{2}$L;
②把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长L3=$\frac{1}{3}$πa=$\frac{1}{3}$L,
③把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长厶=$\frac{1}{4}$πa=$\frac{1}{4}$L;
④把AB分成n条相等的线段，每个小圆的
×DE=$\frac{1}{2}$×8×4=16;
如图4,当DE⊥EC时,此时△CDE是直角三角形,过点A作AQ⊥EC于点Q,
　　　　　
∵AE=AC=5,
∴EQ=QC=$\frac{1}{2}$EC,
∵AQ⊥EC,DE⊥EC,DE⊥AD,
∴四边形ADEQ是矩形,
∴AD=EQ=QC=$\frac{1}{2}$EC=3,
∴EC=6,
故S△CDE=$\frac{1}{2}$EC.DE=$\frac{1}{2}$×6×4=12;如图5,当DC⊥EC时，此时△CDE是直角三角形，过点A作AQ⊥EC于点Q,交DE 于点N,
　　　　　
∴EQ=QC=$\frac{1}{2}$EC=x,NQ//CD,
∴$\frac{EN}{DN}$=$\frac{EQ}{QC}$=1,
∴DN=EN=$\frac{1}{2}$DE=2,QN=$\frac{1}{2}$DC,
∵∠AND=∠ENQ,∠ADN=∠EQN=
90°,
∴∠DAN=∠QEN,
∴tan∠DAN=tan∠QEN,
∴$\frac{QN}{EQ}$=$\frac{DN}{AD}$=$\frac{2}{3}$,
∴QN=$\frac{2}{3}$x,
∴DC=$\frac{4}{3}$x,CE=2x,
∵ED²=DC²+EC²,
∴4²=(2x)2+($\frac{4x}{3}$)2'
∴x²=$\frac{36}{13}$5
解得x=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$(负值已舍去);
故SCDE=$\frac{1}{2}$EC.DC=$\frac{1}{2}$×2x×$\frac{4}{3}$x
　　　　=$\frac{48}{13}$.
故三角形CDE的面积为4或16或12或48
　13.
周长厶=$\frac{1}{n}$πa=$\frac{1}{n}$L.
故答案为:①$\frac{ra}{2}$,$\frac{1}{2}$;②$\frac{1}{3}$πa,$\frac{1}{3}$L;
③$\frac{1}{4}$πa,$\frac{1}{4}$L;④$\frac{1}{n}$na,$\frac{1}{n}$L;
(2)以α为直径的圆的面积为S=π($\frac{a}{2}$)²=
π$\frac{a?}{4}$.
把AB分成两条相等的线段，每个小圆的面2　　　　　　　2
　　积S2=π($\frac{a}{4}$)=$\frac{1}{4}$π($\frac{a}{2}$=$\frac{1}{22}$S;
　　把AB分成三条相等的线段，每个小圆的面积Ss=π($\frac{a}{6}$)²=$\frac{1}{9}$π($\frac{a}{2}$)²−$\frac{1}{32}$S;
　　把AB分成四条相等的线段，每个小圆的面积S=π($\frac{a}{8}$)²=$\frac{1}{16}$π($\frac{a}{2}$)²²=$\frac{1}{42}$S;
　
∴把AB分成n条相等的线段，每个小圆的面积S=$\frac{1}{2²}$S.
　　故答案为:$\frac{1}{n²}$.

12. [逻辑推理]在平面直角坐标系中，关于点M(x₁，y₁)与点N(x₂，y₂)的“阳光距离”，给出如下定义：若|x₁ - x₂|≥|y₁ - y₂|，点M，N的“阳光距离”为|x₁ - x₂|；若|x₁ - x₂|＜|y₁ - y₂|，点M，N的“阳光距离”为|y₁ - y₂|.
（1）①已知点A(2，3)，B( - 2，1)，点A，B的“阳光距离”为______；
②已知点A(2，3)，B( - 2，m)，点A，B的“阳光距离”为5，求m的值；
（2）已知点P(1，2)，Q(n，0)，当点P，Q的“阳光距离”最小时，求最小“阳光距离”及n的范围；
（3）如图，已知点E在以(2，4)为圆心，1为半径的圆上，点F(0，1)，记点E，F的“阳光距离”为S，直接写出S的范围.

答案： 解:
(1)①
∵A(2,3),B(−2,1),
　
∴|2−(−2)∣＞|3−1|,即4＞2,
　
∴点A,B的“阳光距离”为4.
　　故答案为:4;
　　②
∵A(2,3),B(−2,m),∣2−(−2)∣=4,点A,B的“阳光距离”为5,
　
∴|3−m|=5,
∴m=−2或m=8;
(2)当|n−11≥2时,解得n≥3或n≤−1,
∴P,Q的“阳光距离”为|n−1|,最小为2,此时n=−1或3;
　　当|n−1|＜2时,解得−1＜n＜3,“阳光距离”为2;
　
∴最小“阳光距离”为2,−1≤n≤3;
(3)
∵点E在以(2,4)为圆心,1为半径的圆上，
∴1≤点E的横坐标≤3,3≤点E的纵坐标≤5,
　
∵点F(0,1),
　
∴2≤S≤4.