《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

15. [2024·陇南模拟]如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = -x^{2}+bx + c$ 经过点 $A(-1,0)$，点 $B(0,3)$. 点 $M$ 是抛物线上第一象限内的点，过点 $M$ 作直线 $MN\perp x$ 轴于点 $N$.
（1）求抛物线的表达式；
（2）当直线 $MN$ 是抛物线的对称轴时，求四边形 $ABMN$ 的面积.

答案：
解:
(1)把点A(−1,0),点B(0,3)代入抛物线y=−x²+bx+c得
　　{c−=13−,b+c=0,解得{bc==32,,
　
∴抛物线的表达式为y=−x²+2x+3;
(2)如图所示，连接AB,BN和BM,
　　　　　　　
∵y=−x²+2x+3=−(x−1)²+4,
　
∴对称轴为x=1,,
∴M(1,4),N(1,0),
∵A(−1,0),点B(0,3),点O(0,0),
∴OB=3,AN=2,MN=4,ON=1,
∴S四边形ABMN=S△ABN+S△BMN
　=$\frac{1}{2}$AN.OB+$\frac{1}{2}$MN.ON
　=$\frac{1}{2}$×2×3+$\frac{1}{2}$×4×1
　=3+2=5.

16. 如图，已知抛物线 $y = -x^{2}+mx + n$ 的图象经过点 $A(-1,4)$，$B(1,0)$，$y =-\frac{1}{2}x + b$ 经过点 $B$，且与抛物线交于点 $D$.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点 $N$ 是二次函数图象上一点（点 $N$ 在 $BD$ 上方），过 $N$ 作 $PN\perp x$ 轴，垂足为 $P$，交 $BD$ 于点 $M$，设 $P$ 点坐标为 $(a,0)$.
①直接写出线段 $MN$ 的表达式（用含 $a$ 的代数式表示）；
②当 $\triangle BDN$ 的面积最大的时候，求 $a$ 的值及面积的最大值.

答案： 解:
(1)
∵y=−x²+mx+n的图象经过点
A(−1,4),B(1,0),
∴{40==−−11+−mm++nn,,解得{mn==3−,2,
∴y=−x²−2.x+3;
(2)①
∵B(1,0),y=−$\frac{1}{2}$x+b经过点B,
∴0=−$\frac{1}{2}$+b,解得b=$\frac{1}{2}$,
　
∴BD的表达式为y=一$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$,
　
∵P(a,0),PN⊥x轴,
　
∴N(a−a²−2a+3),'M(a'−$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$　,
∴MN=−α²−2a+3−(−$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$
　−a²−$\frac{3}{2}$a+$\frac{5}{2}$;
　　　y=−x²−2x+3,
　②{y=−$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$,
　　　　　　　　x=−$\frac{5}{2}$,
　解得{yx=01，或
　　　　　　　　y=　　,
　　　　　　　{
　　　　　　　　　　$\frac{7}{4}$
∴D(−$\frac{5}{2}$,$\frac{7}{4}$),
　S△BDN=$\frac{1}{2}$MN.(xB−xD)
　　　　=$\frac{1}{2}$(−a2−$\frac{3}{2}$a+$\frac{5}{2}$)×(1+$\frac{5}{2}$
　　　　=−$\frac{7}{4}$a²−$\frac{21}{8}$a+$\frac{35}{8}$
　　　　=−$\frac{7}{4}$(a+$\frac{3}{4}$)²²+$\frac{343}{64}$,
∴当a=−$\frac{3}{4}$时，面积最大值为$\frac{343}{64}$