《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

11. 若函数 $y=(k - 1)x^{k^{2}-3k + 4}+2x - 1$ 是关于 $x$ 的二次函数.
（1）求 $k$ 的值；
（2）求当 $x = 3$ 时，$y$ 的值.

答案： 解:
(1)依题意有{kk²−−13≠k0+,4=2,
　解得k=2,
　
∴k的值为2;
(2)把k=2代入函数表达式中,得y=x²+2x−1,
　　当x=3时,y=14,

12. 如图所示，一个矩形的长为 4 cm，宽为 3 cm，如果将这个矩形的长与宽都增加 $x$ cm，那么这个矩形的面积增加 $y$ cm².
（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；
（2）这个函数是二次函数吗？为什么？
（3）求自变量的取值范围.

答案： 解:
(1)
∵矩形的长为4cm,宽为3cm,
∴矩形的面积=4×3=12(cm²).
　
∵矩形的长与宽都增加xcm,
　
∴增加后矩形的面积=(4+x)(3+x)cm²,
∴y=(4+x)(3+x)−12,即y=x²+7x,故y与x之间的函数关系式为y=x²+7x;
(2)
∵一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，
∴y=x²+7x是二次函数;
(3)
∵x为矩形增加的长与宽,
∴自变量x的取值范围为r≥0.

13. 如图所示，圆柱的高为 10 cm，圆柱的底面直径为 $x$ cm，圆柱的表面积为 $S$ cm².
（1）求圆柱的表面积 $S$ 与圆柱的底面直径 $x$ 之间的函数关系式，并判断这个函数是否为二次函数；
（2）当圆柱的底面直径从 4 cm 增加到 10 cm 时，圆柱的表面积增加了多少?（最后结果保留 $\pi$）

答案： 解:
(1)由题意,得圆柱的表面积S=2πrh+2πr²=2π×$\frac{T}{2}$×10+2π＞×($\frac{x}{2}$)²²=$\frac{1}{2}$π.x²+10πx,
∴圆柱的表面积S与圆柱的底面直径x之间的函数关系式为S=$\frac{1}{2}$πx²+10πx,
∵$\frac{1}{2}$π≠0,
∴函数S=$\frac{1}{2}$πx²+10πx是二次函数;
(2)
∵$\frac{1}{2}$π×102+10π×10−π×4²−
10π×4=150π−48π=102π(cm²²),
∴圆柱的表面积增加了102πcm².

14. 如图，折叠矩形纸片 $ABCD$，使点 $D$ 落在 $AB$ 边的点 $M$ 处，$EF$ 为折痕，$AB = 1$，$AD = 2$.
（1）当 $M$ 为 $AB$ 中点时，$AE=$________；
（2）设 $AM$ 的长为 $t$，用含有 $t$ 的式子表示四边形 $CDEF$ 的面积 $S_{四边形CDEF}$ 是______.

答案：
(1)$\frac{15}{16}$　
(2)$\frac{1}{4}$t²−$\frac{1}{4}$t+1
　解析:
(1)
∵AB=1,AD=2,
∴设AE=x,则EM=2−x,
∵AE²+AM²=EA²,
　即x²+($\frac{1}{2}$)²=(2−x)²,解得x=$\frac{15}{16}$;
(2)连接DM,过点E作EG⊥BC于点G,
　设DE=y=EM,则EA=2−y,
∵AE²+AM²=EM²,
∴(2−y)²+t²²=y²,解得y=$\frac{t?}{4}$+1,
∴DE=$\frac{t²}{4}$+1,
∵折叠矩形纸片ABCD,使点D落在AB边的点M处,
∴EF⊥DM,
∴∠ADM+∠DEF=90°,
∵EG⊥AD,
∴∠DEF+∠FEG=90°,
∴∠ADM=∠FEG,
∴tan∠ADM=$\frac{AM}{AD}$=$\frac{t}{2}$=|FC,
∴FG=$\frac{t}{2}$,
∵CG=DE=$\frac{t2}{4}$+1,
∴CF=$\frac{t?}{4}$−$\frac{t}{2}$+1,
∴S四边形CDEF=$\frac{1}{2}$(CF+DE)×1=$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{4}$t+1.