《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

1. [2024·长沙县模拟]《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释. 公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离s(m)与时间t(s)的函数关系式为s = 16t - 4t²，当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为（ ）
A. 13 m
B. 14 m
C. 15 m
D. 16 m

答案： D

2. 如图1是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2 m，水面宽4 m. 如图2建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式是（ ）

A. y = - $\frac{1}{2}$x²
B. y = $\frac{1}{2}$x²
C. y = - 2x²
D. y = 2x²

答案： A

3. [2024·盂县三模]数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，撑开后如图1所示，由此发现数学知识——抛物线. 如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨OA，OB的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系. 点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称. 抛物线的表达式为y = - 0.1x² + 1，若点A到x轴的距离是0.6 dm，则A，B两点之间的距离是（ ）

A. 4 dm
B. 6 dm
C. 8 dm
D. 10 dm

答案： A

4. [2024·保德县三模]“科教兴国，强国有我”. 某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h = at² + bt + 1. 已知“水火箭”飞行3 s和飞行9 s时的升空高度相同，飞行8 s时的升空高度为33 m，则“水火箭”升空的最大高度为（ ）

A. 33 m
B. 36 m
C. 37 m
D. 40 m

答案： C

5. [2024·济宁二模]如图1，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化. 如图2，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80 m，高度为200 m. 则离地面150 m处的水平宽度（即CD的长）为_______.

答案： 40m

6. [2023·河北]嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏. 某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题.
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1 m长. 嘉嘉在点A(6,1)处将沙包（看成点）抛出，其运动路线为抛物线C₁：y = a(x - 3)² + 2的一部分，淇淇恰在点B(0,c)处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C₂：y = - $\frac{1}{8}$x² + $\frac{n}{8}$x + c + 1的一部分.
(1)写出C₁的最高点坐标，并求a，c的值；
(2)若嘉嘉在x轴上方1 m的高度上，且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值.

答案： 解:
(1)
∵抛物线$C_{1}:y = a(x - 3)^{2}+2$，
∴$C_{1}$的最高点坐标为$(3,2)$．
∵点$A(6,1)$在抛物线$C_{1}:y = a(x - 3)^{2}+2$上，
∴$1 = a\times(6 - 3)^{2}+2$，解得$a =-\frac{1}{9}$，
∴抛物线$C_{1}$的表达式为$y =-\frac{1}{9}(x - 3)^{2}+2$，
　令$x = 0$，则$c =-\frac{1}{9}\times(0 - 3)^{2}+2 = 1$；
(2)
∵到点$A$水平距离不超过$1$m的范围内可以接到沙包，
∴嘉嘉接沙包的坐标范围为$(5,1)\sim(7,1)$，
　①当经过$(5,1)$时，
　$1 =-\frac{1}{8}\times5^{2}+\frac{n}{8}\times5 + 1+1$，
　解得$n=\frac{17}{5}$；
　②当经过$(7,1)$时，
　$1 =-\frac{1}{8}\times7^{2}+\frac{n}{8}\times7 + 1+1$，
　解得$n=\frac{41}{7}$；
∴$\frac{17}{5}\leq n\leq\frac{41}{7}$，
∴符合条件的$n$的整数值为$4$和$5$．