《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

3. [2024·保山一模]如图，抛物线$y = ax^{2} + bx + c$过$A( - 2,0)$，$B(3,0)$，$C(0,6)$三点，点$P$是第一象限内抛物线上的动点，点$P$的横坐标是$m$，且$\frac{1}{2} ＜ m ＜ 3$.
(1)试求抛物线的表达式；
(2)过点$P$作$PN \perp x$轴并交$BC$于点$N$，作$PM \perp y$轴并交抛物线的对称轴于点$M$，若$PM = \frac{1}{2}PN$，求$m$的值.

答案： 解:
(1)由题知,将A,B,C三点坐标代入函数表达式，得
　　4a−2b+c=0,　　　α=−1,
　　9a+3b+c=0,解得b=1,
　　c=6,　　　　　　　　c=6,
　{　　　　　　　　　　{
∴抛物线的表达式为y=−x²+x+6;
(2)将r=m代入抛物线表达式得,
　y=−m²+m+6,
∴点P的坐标为(m,−m²+m+6).
　令直线BC的函数表达式为y=px+q,
　则{q3p=+6q,=0,，解得{pq==6−,2,
∴直线BC的函数表达式为y=−2r+6.
∵$\frac{1}{2}$＜m＜3,且抛物线的对称轴为直线x=
　　1
　2'
∴PM=m−$\frac{1}{2}$.
　又
∵点N的坐标为(m,−2m+6),
∴PN=−m²+m+6−(−2m+6)=−m²+3m.
∵PM=$\frac{1}{2}$PN,
∴m−$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$(−m²+3m),
　解得m=$\frac{1±√5}{2}$,
　又
∵$\frac{1}{2}$＜m＜3,
∴m=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

4. [2023·鸡西三模]如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y = ax^{2} + bx - 4$交$x$轴于$A( - 3,0)$，$B$两点，交$y$轴于点$C$，$CD // x$轴，交抛物线于点$D$，$AC = CD$.
(1)求抛物线的表达式；
(2)在直线$AD$上方的抛物线上是否存在一点$Q$，连接$AQ$，$DQ$，使$S_{\triangle AQD} = 8$，若存在，求点$Q$的横坐标；若不存在，请说明理由.

答案：
解:
(1)
∵y=ax²+bx−4,
　令x=0,得y=−4,
∴C(0,−4),
∴OC=4.
∵A(−3,0),
∴OA=3,
∴AC=　$\sqrt{OA²+OC}$=5,
∴CD=5,
∴抛物线的对称轴为直线x=$\frac{5}{2}$,
∴−$\frac{b}{2a}$=$\frac{5}{2}$,
∴b=−5a.
将点A(−3,0)代入y=ax²−5ax−4中,得α=$\frac{1}{6}$,
∴b=−5a=−$\frac{5}{6}$,
∴抛物线的表达式为y=$\frac{1}{6}$x²−$\frac{5}{6}$x−4;
(2)存在,
∵CD=5,C(0,−4),
∴D(5,−4).
设Q(m,$\frac{1}{6}$m²−$\frac{5}{6}$m−4).
①当m＜−3时,
设直线QD的表达式为y=kx+b,
∴　mk+b=$\frac{1}{6}$m²−$\frac{5}{6}$m−4,
　　5k+b=−4,
　{
　　　k=$\frac{1}{6}$m,
解得
　　　b1=−　　m−4,
　　{
　　　　　$\frac{5}{6}$
∴直线QD的表达式为y=$\frac{m}{6}$x−$\frac{5m}{6}$−4.过点A作AE//y轴,交QD于点E,
　　　　
则E(−3,−$\frac{4}{3}$m−4),
∴AE=−$\frac{4}{3}$m−4,
∴SAQD=$\frac{1}{2}$AE.(xD−xQ)=$\frac{1}{2}$(−$\frac{4}{3}$m−4)(5−m),
∵S△AQD=8,
∴$\frac{1}{2}$(−$\frac{4}{3}$m−4)(5−m)=8，'
解得m1=1−2√7,m2=1+2√7(舍去),故点Q的横坐标为1−2√7;
②当m＞5时,
设直线QA的表达式为y=px+q.
∴{mp+q=$\frac{1}{6}$m²−$\frac{5}{6}$m−4,
　　−3p+q=0,
　　　p=$\frac{1}{6}$(m−8),
解得
　　　q=　　(m−8),
　　{
　　　　$\frac{1}{2}$
∴直线QA的表达式为y=$\frac{m−8}{6}$x+$\frac{m−8}{2}$.过点D作DG//y轴,交QA于点G,
则G(5,$\frac{4}{3}$m−$\frac{32}{3}$),
∴GD=$\frac{4}{3}$(m−5),
∴S△ADQ=$\frac{1}{2}$GD.(xq−xA)
　　　　=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$(m−5)(m+3)
$\frac{2}{3}$(m−5)(m+3).
∵S△AQD=8,
∴$\frac{2}{3}$(m−5)(m+3)=8,
　解得m1=1+2√7,m2=1−2√7(舍去),故点Q的横坐标为m=1+2√7.
　综上所述,点Q的横坐标为1+2√7或1−2√7.