《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

9. [2024·河西区模拟]综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度.如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD = 5 m，∠DCE = 30°，点E，C，A在同一条水平直线上.某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°.
（1）求DE的长；
（2）设塔AB的高度为h（单位：m）.
①用含有h的式子表示线段EA的长（结果保留根号）；
②求塔AB的高度.（tan27°≈0.5，√3≈1.7，结果取整数）

答案：
解:
(1)由题意,得DE⊥EC,
　在Rt△DEC中,CD=5m,∠DCE=30°,
∴DE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{5}{2}$m,
∴DE的长为$\frac{5}{2}$m;
(2)①由题意,得BA⊥EA,
　在Rt△DEC中,DE=$\frac{5}{2}$m,∠DCE=30°,
∴CE=√3DE=√3(m),
　在Rt△ABC中,AB=hm,∠BCA=45°,
∴AC=AB=hm,
∴AE=EC+AC=　√3+　　m,
∴线段EA的长为　√3+h　m;
　②如图,过点D作DF⊥AB,垂足为点F,
　　　　　
　由题意,得DF=EA=($\frac{5}{2}$3+h)m,DE=
　FA=$\frac{5}{2}$m.
∵AB=hm,
∴BF=AB−AF=(h−$\frac{5}{2}$)m,
　在Rt△BDF中,∠BDF=27°,
∴BF=DF.tan27°≈0.5×　+h)m,
∴h−$\frac{5}{2}$=0.5×(√3+h　,
　解得h=√3+5≈$\frac{5}{2}$×1.7+5≈9,
∴塔AB的高度约为9m.

10. [2024·东兴区一模]在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一座大楼CD的高度.如图所示，测得斜坡BE的坡度i = 1：4，坡底AE的长为80米，在B处测得大楼CD顶部D的仰角为30°，在E处测得大楼CD顶部D的仰角为60°，求大楼CD的高度.（结果保留根号）

答案：
解:作BF⊥CD于点F,设DF=x米,
　　　　　
　在Rt△DBF中,∠DBF=30°,
∴BF=taDnF30°=$\sqrt{3}$x米,
∵斜坡BE的坡度i=1:4,
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{1}{4}$,
∵坡底AE的长为80米,
∴AB=20米,
∴CF=AB=20米,
　在Rt△DCE中,
DC=DF+CF=(x+20)米,∠DEC=60°,
∴EC=t2a0n+60x°=33(x+20)米,
∴BF=AE+EC=80+√3(x+20),
　　　　　　　　　　　3
∴80+$\frac{\sqrt{3}}{3}$(x+20)=√3x,
　
∴x=40$\sqrt{3}$+10,
　
∴CD=DF+CF=40$\sqrt{3}$+10+20=(40$\sqrt{3}$+30)米，
　答:大楼CD的高度是(40√3+30)米

11. [2023·西安模拟]阳光明媚的一天，小明与同学计划测量学校周围一栋古建筑AB的高度，由于古建筑底部不可到达，他们在古建筑AB的影子顶端C处，直立一个长为2米的标杆DC，经测量标杆的影子CE长为1米，接下来他们沿着BE方向从E点出发走了9米到达点F处，利用无人机测得GF为12米，并用无人机在G处测得观测B点的俯角约为37°，求古建筑AB的高.（参考数据：tan53°≈4/3，sin53°≈4/5，cos53°≈3/5）

答案： 解:
∵太阳光是平行光线，
∴AC//DE,
　
∴∠ACB=∠DEC.
　
∵∠ABC=∠DCE=90°,
　
∴△ABC∽△DCE,
　
∴$\frac{AB}{DC}$=$\frac{BC}{CE}$.
　
∵DC=2米,CE=1米,
　
∴AB=2BC,
　设BC=x米,则AB=2x米.
　
∵EF=9米,
　
∴BF=BC+CE+EF=(x+10)米.
　
∵GF=12米,∠BGF=90°−37°。=53°,
∴tan∠BGF=tan53°=$\frac{BF}{GF}$=$\frac{x+10}{12}$≈$\frac{4}{3}$,解得r=6,
　
∴AB=12米.
　答:古建筑AB的高为12米.