《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

9. 唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长为6 m，轮子的吃水深度CD为1.5 m，求该桨轮船的轮子直径.

答案：
解:如图，连接OB,设轮子的直径为d m,则其半径为$\frac{d}{2}$m.
　　　　　　
　由题意,得OC⊥AB,AD=BD=3m,
　则在Rt△OBD中,OD²+BD²=OB²,
∴$(\frac{d}{2}-1.5)^{2}+3^{2}=(\frac{d}{2})^{2}$
　解得d=7.5,
　答:该桨轮船的轮子直径为7.5m.

10. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具. 如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理. 如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆. 已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB = 41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离.（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）

答案：
解:如图,连接CO并延长,交AB于点D,
∵OD⊥AB,AB=6,
　
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=3,
　　在Rt△OAD中,
　　　　　　　　　　　　
　　∠OAB = 41.3°，
　
∴AO = $\frac{AD}{\cos41.3^{\circ}}\approx\frac{3}{0.75}$ = 4，OD = AD·tan41.3°≈3×0.88 = 2.64，
　
∴CD = OC + OD = AO + OD = 4 + 2.64 = 6.64，
　　答:点C到弦AB所在直线的距离是6.64米.

11. 如图，已知⊙O的弦CD垂直于直径AB，点E在CD上，且EC = BE.
（1）求证：△CEB∽△CBD；
（2）若CE = 9，CB = 15，求DE的长；
（3）在（2）的条件下，求⊙O的直径.

答案：
解:
(1)证明:
∵弦CD垂直于直径AB,
　
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
　
∴BC=BD,
　
∴∠C=∠D.
　
∵EC=BE,
　
∴∠C=∠CBE,
　
∴∠D=∠CBE.
　　又
∵∠C=∠C,
　
∴△CEB∽△CBD;
(2)
∵△CEB∽△CBD,
∴$\frac{CE}{CB}=\frac{CB}{CD}$.
　
∴CD = $\frac{CB^{2}}{CE}=\frac{15^{2}}{9}$ = 25,
　
∴DE=CD−CE=25−9=16;
(3)设弦CD与AB交于点H,圆的半径为r,连接OD,
　　　　　　　
　
∴CH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{25}{2}$,
　　BH = $\sqrt{15^{2}-(\frac{25}{2})^{2}}=\frac{5\sqrt{11}}{2}$，
　　在Rt△OHD中,OD² = OH² + DH²，则有
　　r² = $(r - \frac{5\sqrt{11}}{2})^{2}+(\frac{25}{2})^{2}$，
　　解得r = $\frac{45\sqrt{11}}{11}$.
　　所以⊙O的直径为$\frac{90\sqrt{11}}{11}$.

12. 如图，在⊙O中，直径AB = 10，CD⊥AB于点E，CD = 8. 点F是弧BC上动点，且与点B，C不重合，P是直径AB上的动点，设m = PC + PF，则m的取值范围是（ ）

A. 8 ＜ m≤4√5 B. 4√5 ＜ m≤10
C. 8 ＜ m≤10 D. 6 ＜ m ＜ 10

答案： C