《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

12. 二次函数$y = ax^{2}+c(a\neq0)$的图象经过点$A(1,-1)$，$B(2,5)$.
（1）求函数$y = ax^{2}+c$的表达式；
（2）若点$C(-2,m)$，$D(n,7)$也在函数的图象上，求点$C$，点$D$的坐标.

答案： 解：
(1)将A(1,−1)，B(2,5)代入y = ax² + c，得
{a + c = -1,
{4a + c = 5,
解得{a = 2,
{c = -3,
则二次函数的表达式为y = 2x² - 3；
(2)将x = -2，y = m代入二次函数的表达式，得m = 5，即C(−2,5)；
将x = n，y = 7代入二次函数的表达式，得7 = 2n² - 3，即n = ±√5，
即D(√5,7)或(−√5,7)．

13. 如图，已知二次函数$y = ax^{2}(a\neq0)$与一次函数$y = kx - 2$的图象相交于$A(-1,-1)$，$B$两点.

（1）求$a$，$k$的值；
（2）求点$B$的坐标；
（3）求$S_{\triangle AOB}$.

答案：
解：
(1)
∵二次函数y = ax²的图象过点A(−1,−1)，
∴ -1 = (−1)²a，解得a = -1；
∵一次函数y = kx - 2的图象过点A(−1,−1)，
∴ -1 = -k - 2，解得k = -1；
(2)联立{y = -x - 2,
{y = -x²,
解得{x = -1,
{y = -1
或{x = 2,
{y = -4,
∴点B的坐标为(2,−4)；
(3)如图，设直线y = -x - 2与y轴的交点为G，则G(0,−2)，
∴S△AOB = S△AOG + S△BOG = $\frac{1}{2}$×2×1 + $\frac{1}{2}$×2×2 = 3．

14. 如图，抛物线$y = ax^{2}+k(a＞0,k＜0)$与$x$轴交于$A$，$B$两点（点$B$在点$A$的右侧），其顶点为点$C$，点$P$为线段$OC$上一点，且$PC=\frac{1}{4}OC$. 过点$P$作$DE// AB$，分别交抛物线于$D$，$E$两点（点$E$在点$D$的右侧），连接$OD$，$DC$.

（1）直接写出$A$，$B$，$C$三点的坐标；（用含$a$，$k$的式子表示）
（2）猜想线段$DE$与$AB$之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）若$\angle ODC = 90^{\circ}$，$k = -4$，求$a$的值.

答案： 解：
(1)对于y = ax² + k，
令y = ax² + k = 0，解得x = ±√$\frac{-k}{a}$，
令x = 0，则y = k，
故点A，B，C的坐标分别为(−√$\frac{-k}{a}$,0)，(√$\frac{-k}{a}$,0)，(0,k)；
(2)DE = $\frac{1}{2}$AB，
理由：
∵C(0,k)，点C在y轴负半轴，
∴OC = -k，
∴PC = $\frac{1}{4}$OC = -$\frac{1}{4}$k，
则yP = k - $\frac{1}{4}$k = $\frac{3}{4}$k，
故点P的坐标为(0,$\frac{3}{4}$k)．
令$\frac{3}{4}$k = ax² + k，
解得x = ±$\frac{1}{2}$√$\frac{-k}{a}$．
则DE = $\frac{1}{2}$√$\frac{-k}{a}$ - (−$\frac{1}{2}$√$\frac{-k}{a}$) = √$\frac{-k}{a}$，
由点A，B的坐标，得
AB = √$\frac{-k}{a}$ - (−√$\frac{-k}{a}$) = 2√$\frac{-k}{a}$ = 2DE．
∴DE = $\frac{1}{2}$AB；
(3)当k = -4时，
由
(1)
(2)知，点P的坐标为(0,−3)，点C的坐标为(0,−4)，DE = √$\frac{-(-4)}{a}$ = √$\frac{4}{a}$ = 2√$\frac{1}{a}$，
∴OP = 3，OC = 4，PC = OC - OP = 4 - 3 = 1，PD = $\frac{1}{2}$DE = √$\frac{1}{a}$．
∵∠ODC = 90°，
∴∠ODP + ∠CDP = 90°．
又
∵∠CDP + ∠DCP = 90°，
∴∠ODP = ∠DCP，
∴tan∠ODP = tan∠DCP，
∴$\frac{OP}{PD}$ = $\frac{PD}{PC}$，即PD² = OP·PC，
∴(√$\frac{1}{a}$)² = 3×1，解得a = $\frac{1}{3}$．