《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

14. [2024·榆阳区三模]已知二次函数$y=-x^{2}+2mx - 3(m＞0)$在自变量$-1\leqslant x\leqslant3$时，其对应的函数值$y$的最大值为1，则$m$的值为 ( )
A. 4
B. $\frac{13}{6}$
C. 2
D. 1

答案： C

15. [2024·碑林区一模]在平面直角坐标系中，二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a,b,c$是常数，且$a\neq0)$的图象经过点$A(2,m^{2}+3)$，$B(n,2m)$，且该二次函数有最小值为$a - b + c$，则$n$的取值范围是 ( )
A. $-3＜n＜1$
B. $-4＜n＜2$
C. $-4＜n\leqslant1$
D. $-2\leqslant n＜4$

答案： B

16. [2024·水富市模拟]在平面直角坐标系中，如果点$M$的横坐标和纵坐标相等，则称点$M$为和谐点，例如：点$(1,1)$，$(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$，$(-\sqrt{3},-\sqrt{3})$，…，都是和谐点.
(1)判断函数$y = 3x - 1$的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
(2)若二次函数$y = ax^{2}+5x + c(a\neq0)$的图象上有且只有一个和谐点$(-2,-2)$.当$-4\leqslant x\leqslant m$时，函数$y = ax^{2}+5x + c(a\neq0)$的最小值为$-\frac{9}{4}$，最大值为0，求实数$m$的取值范围.

答案： 解:
(1)
∵点M的横坐标和纵坐标相等,则称点M为和谐点，
　
∴和谐点都在y=x上,{yy==x3x,−1,
　　　　x=$\frac{1}{2}$,
　解得
　　　　y=　　,
　　　{
　　　　　　$\frac{1}{2}$
　
∴y=3x−1图象上的和谐点为($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$);
(2)
∵二次函数y=ax²+5x+c(a≠0)的图象上有且只有一个和谱点(−2,−2),
　
∴{yy==xax,²+5x+c,即ax²+4x+c=0有两个相等的实数根，
　
∴A=16−4ac=0,
　解得ac=4①,
　将(−2,−2)代入y=ax²+5x+c(a≠0)得−2=4a−10+c②,
　联立①②,得α=1,c=4,
　
∴y=ax²+5x+c=x²+5x+4
　　　=((x+$\frac{5}{2}$)²²−$\frac{9}{4}$.
　其顶点坐标为(-$\frac{5}{2}$,−$\frac{9}{4}$),则最小值为$\frac{9}{4}$,
令y=0,则x²+5x+4=0,解得x1=−1,x2=−4,
　根据函数图象可知,当−4≤x≤−1时,函2
　数y=(xE+$\frac{5}{2}$)−$\frac{9}{4}$的最小值为一$\frac{9}{4}$,最大值为0，
　
∴实数m的取值范围为一$\frac{5}{2}$≤m≤−1.

17. [2024·五华区模拟]在平面直角坐标系中，抛物线$y = ax^{2}+bx + 1(a,b$是常数，$a\neq0)$与$y$轴相交于$A$点.
(1)已知$3a + b = 0$，若$-1\leqslant x\leqslant2$，$y$有最大值9，求$a$的值；
(2)①求$A$点坐标；
②已知$a＜0$，$t\neq0$，若抛物线经过$(-2,m)$，$(-3,n)$和$(t,1)$，且$1＜n＜m$，求$t$的取值范围.

答案： 解:
(1)由题意,
∵3a+b=0,
∴b=−3a.
∴对称轴是直线x=−$\frac{6}{2a}$=−$\frac{−3a}{2a}$=$\frac{3}{2}$.
∵当−1≤x≤2,y有最大值9,
　若开口向下，
∴当x=$\frac{3}{2}$时,y=$\frac{9}{4}$a+$\frac{3}{2}$b+1=9.
∴$\frac{9}{4}$a+$\frac{3}{2}$×(−3a)+1=9.
　
∴α=−$\frac{32}{9}$;
　若开口向上，
　
∴当x=−1时,y取最大值9,
∴α−1×(−3a)+1=9.
∴α=2;
　综上所述,α=一$\frac{32}{9}$或a=2;
(2)①令x=0,则y=1,
∴A(0,1);
　②由题意，
∵a＜0,
　
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大.又
∵抛物线过(0,1),(t,1),
∴对称轴是直线r=$\frac{0+t}{2}$=$\frac{t}{2}$.
∵1＜n＜m,且抛物线过(0,1),(−2,m),(−3,n),
∴$\frac{t}{2}$−0|$\frac{t}{2}$−(−3|＞|$\frac{t}{2}$−((−㉑)
　||$\frac{t}{2}$$\frac{t}{2}$+3|＞|$\frac{t}{2}$+2||.
　第一种情形:当$\frac{t}{2}$＜−3时,
　即一$\frac{t}{2}$＞−$\frac{t}{2}$−3＞−$\frac{t}{2}$−2,
　
∴无解;
　第二种情形:当−3≤$\frac{t}{2}$＜−2时,
　即一$\frac{t}{2}$＞$\frac{t}{2}$+3＞−$\frac{t}{2}$−2.
　
∴−$\frac{5}{2}$＜$\frac{t}{2}$＜−2.
∴−5＜t＜−4;
　第三种情形:当−2≤$\frac{t}{2}$＜0时,即一$\frac{t}{2}$＞$\frac{t}{2}$+3＞$\frac{t}{2}$+2.
　
∴−2≤$\frac{t}{2}$＜−$\frac{3}{2}$
　
∴−4＜t＜−3;
　第四种情形:当$\frac{t}{2}$＞0时,即$\frac{t}{2}$＞$\frac{t}{2}$+3＞$\frac{t}{2}$+2.
　
∴无解
　综上所述,−5＜t＜−3.

18. [2024·威海]已知抛物线$y = x^{2}+bx + c(b＜0)$与$x$轴交点的坐标分别为$(x_{1},0)$，$(x_{2},0)$，且$x_{1}＜x_{2}$.
(1)若抛物线$y_{1}=x^{2}+bx + c + 1(b＜0)$与$x$轴交点的坐标分别为$(x_{3},0)$，$(x_{4},0)$，且$x_{3}＜x_{4}$.试判断下列每组数据的大小（填“＞”“＜”或“=”）：
①$x_{1}+x_{2}$______$x_{3}+x_{4}$；
②$x_{1}-x_{3}$______$x_{2}-x_{4}$；
③$x_{2}+x_{3}$______$x_{1}+x_{4}$；
(2)若$x_{1}=1$，$2＜x_{2}＜3$，求$b$的取值范围；
(3)当$0\leqslant x\leqslant1$时，$y = x^{2}+bx + c(b＜0)$最大值与最小值的差为$\frac{9}{16}$，求$b$的值.

答案： 解;
(1)
∵y=r²+bx+c(b＜0)与x轴交点的坐标分别为(x,0),(x2,0),且x1＜x2,
∴x+x2=一b,且抛物线开口向上,
　
∵y1=r²+bx+c+1(b＜0)与x轴交点的坐标分别为(x3,0),(x4,0),且x3＜x.即y=x²+bx+c(b＜0)向上平移1个单位,
∴x1＜x3＜x4＜x2,且x3+x4=−b,
　
∴①x}+x2=x3+x4;
　
∵x2−x1＞x4−x3,
∴I2−x4＞x1−x3,即②x1−x3＜x2−x4;
∴x2+x3＞x1+x4,即③x2+x3＞x1+x4.故答案为:=;＜;＞;
(2)
∵x1=1,2＜x2＜3,
∴3＜x2+x1＜4,
∴3＜−b＜4,
∴−4＜b＜−3;
(3)抛物线y=x²+bx+c(b＜0)顶点坐标为(−$\frac{6}{2}$,$\frac{4c−b²}{4}$,
对称轴为x=−$\frac{6}{2}$＞0;
当x=0时,y=c,当x=1时,y=1+b+c,①当−$\frac{b}{2}$≥1时，在x=0取得最大值,在x =1取得最小值时,有c−(1+b+c)=$\frac{9}{16}$,解得b=−$\frac{25}{16}$(舍去);
②当$\frac{1}{2}$＜−$\frac{6}{2}$＜1时,在r=0取得最大值，在顶点取得最小值时，
有c−$\frac{4c−b²}{4}$=$\frac{9}{16}$,解得b=$\frac{3}{2}$(舍去)或b=
一$\frac{3}{2}$;
③当0＜−$\frac{6}{2}$$\frac{1}{2}$时,在x=1取得最大值，在顶点取得最小值时，
有1+b+c−$\frac{4c−b²}{4}$=$\frac{9}{16}$,解得b=−$\frac{7}{2}$(舍去)或b=−$\frac{1}{2}$.
综上所述，b的值为一$\frac{3}{2}$或一$\frac{1}{2}$