《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

12.[2024·临安区一模]如图1，投石机是古代威力巨大的武器，是现代大炮的鼻祖，在我国汉朝时期就被大量运用于战场，它由杠杆、支架、弹袋和重锤等部件组成，其原理是通过弹力使杠杆绕着支点A旋转把石头甩出，以达到伤敌的效果.如图2是投石机的示意图，杠杆AB = 5米，杠杆初始位置与地面成34°角，即∠ABC = 34°.当杠杆甩出石头停止旋转时∠B'AB = 100°.求：杠杆旋转停止时弹袋B距离地面多少米.（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25）

答案：
解:过点A作AF⊥BD于点F,过点B'作
B'E⊥FA,交FA的延长线于点E,
　　　　　　　
　　在Rt△ABF中,
　
∵∠ABF=34°,AB=5米,
　
∴AF=AB·sin∠ABF=5×sin34°≈2.8(米),∠BAF=90°−∠ABF=56°,
　　在Rt△AB'E中,
　
∵∠AB'E=90°−∠B'AE=90°−(180°−∠BAB'−∠BAF)=90°−(180°−100°−56°)=66°,AB'=5米,
　
∴AE=AB'·sin66°=5×0.91≈4.55(米),
　
∴EF=AF+AE=2.8+4.55=7.35(米),即杠杆旋转停止时弹袋B距离地面7.35米.

13.[2024·威海三模]实验是培养学生的创新能力的重要途径之一.如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处.已知试管AB = 24 cm，BE = $\frac{1}{3}$AB，试管倾斜角α为10°.
(1)求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度(结果精确到0.1 cm)；
(2)实验时，当导气管紧贴水槽MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE = 28.36 cm，MN = 8 cm，∠ABM = 145°，求线段DN的长度.(结果精确到1 cm.参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18)

答案：
解:
(1)如图,过点E作EG⊥AC于点G,
∵AB=24cm,BE=$\frac{1}{3}$AB,
∴BE=8cm,AE=16cm,
在Rt△AEG中,AE=16cm,∠AEG=10°
∴EG=cos10°·AE≈0.98×16
　　≈15.7(cm)=CD,
答:酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度约为15.7cm;
　　　　　
(2)如图，过点B分别作BH⊥DE,BP⊥FC,垂足分别为H,P,
在Rt△BEH中,BE=8cm,∠EBH=10°,
∴HE=sin10°·EB≈1.36(cm),BH=
cos10°·EB≈7.84(cm),
∴HD=DE−HE=28.36−1.36=27(cm)=
BP,
∵∠ABF=145°,
∴∠PBF=145°−90°−10°=45°,
∴BP=PF=HD=27cm,
∵MN⊥CF,∠NMF=45°,MN=8cm,
∴MN=NF=8cm,
∴DN=DP+PF−NF=7.84+27−8≈27(cm),答:线段DN的长度约为27cm.