《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

10. [2024·香坊区二模]如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段AB端点均在小正方形的顶点上. 按要求完成下列问题：
（1）画出以线段AB为一腰的等腰△ABC，点C在小正方形的顶点上，且S△ABC = 6；
（2）画出以线段AB为底边的等腰△ABD，点D在小正方形的顶点上，且tan∠ABD = 1，并直接写出线段CD的长.

答案：
解：
(1)如图，△ABC即为所求作；
　　　　　　　
(2)如图，△ABD即为所求作，$CD=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$.

11. 李华在作业中得到下列结果：
tan7°·tan83° = 1；tan22°·tan68° = 1；
tan29°·tan61° = 1；tan37°·tan53° = 1；
tan45°·tan45° = 1.
根据以上结果，李华猜想：对于任意锐角α，均有tanα·tan(90° - α) = 1.
李华的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例.

答案：
解：成立.
证明：如图所示，作Rt△ABC，其中∠ABC = 90°，AC为斜边，BA，BC为两直角边.
设∠A = α，
则∠C = 90° - α，
∴$\tan\alpha=\tan A=\frac{BC}{AB}$，$\tan(90^{\circ}-\alpha)=\tan C=\frac{AB}{CB}$，
∴$\tan\alpha\cdot\tan(90^{\circ}-\alpha)=\frac{BC}{AB}\cdot\frac{AB}{CB}=1$，
∴$\tan\alpha\cdot\tan(90^{\circ}-\alpha)=1$成立.
　　　　　　　　　　　　

12. [2024·长沙三模]如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，点D是边BC上一点，BE⊥AB交AD的延长线于点E，点F是AE的中点，连接CF，BF.
（1）求证：△ACF≌△BCF；
（2）若tan∠CBF = $\frac{1}{3}$，DF = 2，求BF的长.

答案： 解：
(1)证明：
∵BE⊥AB，
∴∠ABE = 90°，
∵点F是AE的中点，
∴BF = AF = EF，
在△ACF和△BCF中，
$\begin{cases}AC = BC,\\AF = BF,\\CF = CF,\end{cases}$
∴△ACF≌△BCF(SSS)；
(2)
∵△ACF≌△BCF，
∴∠CBF = ∠CAF，∠ACF = ∠BCF = $\frac{1}{2}$∠ACB = 45°，
∴$\tan\angle CAF=\tan\angle CBF=\frac{1}{3}$，
在Rt△ACD中，$\frac{CD}{AC}=\frac{1}{3}$，即$\frac{CD}{BC}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{1}{2}$，
∵∠ACF = ∠BCF = 45°，
又
∵∠CBA = ∠CBE = 45°，
∴∠BCF = ∠CBE，
∴△CFD∽△BED，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{DF}{DE}=\frac{1}{2}$，
∵DF = 2，
∴DE = 4，
∴EF = 6，
∴BF = 6.

13. [2024·武威三模]图1、图2、图3都是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点在格点上，在图1、图2、图3中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，只保留作图痕迹，不要求写出画法.

（1）在图1中以AB为边画一个钝角三角形ABC，使tan∠CAB = $\frac{1}{3}$；
（2）在图2中以AB为边画一个Rt△ABD，使tan∠DAB = 1；
（3）在图3中以AB为边画一个△ABE，使tan∠AEB = $\frac{3}{4}$.

答案：
解：
(1)答案不唯一，图1中答案供参考;
　　　　　　　　　　　　
(2)答案不唯一，图2中答案供参考;
　　　　　　　　　　　　
(3)如图3所示，