《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

10.[2023·威海期末]如图，在边长相同的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则tan∠APD的值为（ ）

A.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
B.$\sqrt{5}$
C.2
D.2$\sqrt{2}$

答案：
C 解析：如图，连接$BE$，$AE$，

则$DC// BE$，
∴$\angle DPA=\angle EBA$，
在$Rt\triangle PBF$中，
$\tan\angle EBA=\frac{AE}{EB}=2$，
∴$\tan\angle APD = 2$。

11.[2023·曲阜期末]如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于（ ）

A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{\sqrt{10}}{10}$

答案： D

12.[2023·市中区期末]如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（ ）

A.1
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

答案： B

13.[2023·招远期末]如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正弦值是（ ）

A.$\frac{5}{4}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{\sqrt{13}}{13}$
D.$\frac{2\sqrt{13}}{13}$

答案：
D 解析：把$CD$平移到$BM$，过$M$作$MH\perp AB$于$H$，设$BN\perp AC$于点$N$，

∴$\angle ABM=\angle AOC$，
由勾股定理，得
$AB=\sqrt{4^{2}+7^{2}}=\sqrt{65}$，
$BM=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2\sqrt{5}$，
∵$S_{\triangle ABM}=\frac{1}{2}AB\cdot MH=\frac{1}{2}AM\cdot BN$，
∴$\sqrt{65}MH = 5\times4$，
∴$MH=\frac{4\sqrt{65}}{13}$，
∴$\sin\angle ABM=\frac{MH}{MB}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$，
∴$\sin\angle AOC=\sin\angle ABM=\frac{2\sqrt{13}}{13}$。

14.[2023·泰安模拟]如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC'B'，使点B'落在射线AC上，则cos∠B'CB的值为_______.

答案：
$\frac{\sqrt{5}}{5}$ 解析：如图，连接$BD$，

由网格利用勾股定理，得$BC=\sqrt{10}$，$CD=\sqrt{2}$，$BD = 2\sqrt{2}$，
∴$CD^{2}+BD^{2}=BC^{2}$，
∴$\triangle CDB$是直角三角形，则$BD\perp B'C$，
∴$\cos\angle B'CB=\frac{CD}{CB}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。

15.[2023·利州区二模]如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α，∠β如图所示，则sin(α + β)=_______.

答案：
$\frac{2\sqrt{7}}{7}$ 解析：如图，连接$DE$，

在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = 120^{\circ}$，$BA = BC$，
∴$\angle\alpha = 30^{\circ}$，
同理得$\angle CDE=\angle CED = 30^{\circ}=\angle\alpha$，
又
∵$\angle AEC = 60^{\circ}$，
∴$\angle AED=\angle AEC+\angle CED=60^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ}$，
设等边三角形的边长为$a$，则$AE = 2a$，
$DE = 2\times\sin60^{\circ}\cdot a=\sqrt{3}a$，
∴$AD=\sqrt{AE^{2}+DE^{2}}=\sqrt{(2a)^{2}+(\sqrt{3}a)^{2}}=\sqrt{7}a$，
∴$\sin(\alpha+\beta)=\sin\angle ADE=\frac{AE}{AD}=\frac{2a}{\sqrt{7}a}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$。