《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

10. [2024·吉首模拟]矮寨大桥，彻底打破了湘西交通的瓶颈，不仅创造了世界桥梁史上奇迹，更是见证着湘西发展历程，全域旅游在这里兴起，在山路十八弯的上空，成为湘西人民脱贫奔小康一个厚重的时代标高. 为测量地面与大桥一侧塔顶的距离，无人机在空中$A$处测得大桥塔顶顶部$B$的仰角为$30^{\circ}$，底部$C$的俯角为$60^{\circ}$，无人机与桥面的水平距离$AD$约为$210\ m$，则大桥的高度$BC$约为多少米？（结果保留整数，参考数据：$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{3}\approx1.732$）

答案： 解:
∵AD=210m,∠BAD=30°,
　
∴BD=AD.tan30°。=210×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=70$\sqrt{3}$(m),
∵AD=210m,∠CAD=60°,
　
∴CD=AD.tan60°=210$\sqrt{3}$(m),
　
∴BC=BD+CD=70√3+210√3=280√3≈485(m),
　　答:大桥的高度BC约为485m.

11. [2024·临邑县一模]跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图是某运动员在跳台上完成动作的示意图. 赛道剖面图的一部分可抽象为线段$AD$，$AB$. 滑雪运动员从点$D$出发，到点$B$落地. 已知跳台的高度$h$为$120\ m$，经测量，斜坡$AD$的长为$57\ m$，坡角约为$37^{\circ}$，斜坡$AB$与水平地面的夹角为$40^{\circ}$. 求斜坡$AB$的长度.（结果精确到整数，参考数据：$\sin37^{\circ}\approx0.60$，$\cos37^{\circ}\approx0.80$，$\tan37^{\circ}\approx0.75$，$\sin40^{\circ}\approx0.64$，$\cos40^{\circ}\approx0.77$，$\tan40^{\circ}\approx0.84$）

答案：
解:如图，过点A作AC⊥DE,垂足为C,过点A作AF⊥BE,垂足为F,
　　　　　　　　
　　由题意,得DE⊥BE,DE=120m,AF=CE,在Rtt△ADC中,∠DAC=37。,AD=57m,
∴DC=AD.sin37°≈57×0.6=34.2(m),
∴CE=AF=DE−DC=120−34.2=85.8(m),在Rt△AFB申,∠ABE=40°,
　
∴AB=$\frac{AF}{sin40°}$≈$\frac{85.8}{0.64}$≈134(m),
　
∴斜坡AB的长度约为134m.

12. [2024·琼山区三模]图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图. 已知点$B$，$A$，$D$，$E$均在同一直线上，$AB = AC = AD$，测得$\angle B = 55^{\circ}$，$BC = 1.8\ m$，$DE = 2\ m$.（结果精确到$0.1\ m$）
（1）$\angle ACB =$______$^{\circ}$；
（2）连接$CD$，求证：$DC\perp BC$；
（3）求雕塑的高（即点$E$到直线$BC$的距离）.（参考数据：$\sin55^{\circ}\approx0.82$，$\cos55^{\circ}\approx0.57$，$\tan55^{\circ}\approx1.43$）

答案：
解:
(1)
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB=55°,故答案为:55;
(2)证明:
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
　
∵AD=AC,
∴∠ADC=∠ACD,
　
∵∠B+∠ACB+∠ADC+∠ACD=180°,
∴2∠ACB+2∠ACD=180°,
　
∴∠ACB+∠ACD=90°,
　
∴∠BCD=90°,
　
∴DC⊥BC;
(3)过点E作EF⊥BC,垂足
　　为点F,
　　在Rt△DCB中,∠B=55°,
BC=1.8m,
　
∴BD=coBs5C5°≈$\frac{1.8}{0.57}$=
　　$\frac{60}{19}$(m),
　
∵DE=2m,
　
∴BE=BD+DE=$\frac{98}{19}$(m),
　　在Rtt△BEF中,
　　EF=BE.sin55°≈$\frac{98}{19}$×0.82≈4.2(m),
∴雕塑的高约为4.2m.