《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

17. [2024·绵阳模拟]如图，抛物线 $y = a(x + 4)(x - 2)(a\neq0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$，$B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左边），与 $y$ 轴交于点 $C(0,4)$.
（1）直接写出 $A$，$B$ 两点的坐标，并求出抛物线的表达式；
（2）如图，点 $E$ 是线段 $AB$ 之间的一个动点，过点 $E$ 作 $x$ 轴的垂线分别交抛物线于点 $D$，直线 $AC$ 于点 $F$. 当 $D$，$E$，$F$ 三个点中的一个点平分另外两个点构成的线段时，求 $\triangle DAC$ 的面积；
（3）若点 $P$ 是抛物线上不与顶点重合的一个动点，点 $M$ 是抛物线对称轴上的一个点，点 $N$ 在坐标平面内，当四边形 $CMPN$ 是矩形且 $\tan\angle PCM=\frac{1}{2}$ 时，求点 $P$ 的横坐标.

答案：
解:
(1)令y=a(x+4)(x−2)=0,
∵a≠0,
∴x1=−4,x2=2,
∴A(−4,0),B(2,0).
　将C(0,4)代入抛物线的表达式y=a(x+4)(x−2),
∴−8a=4,
　解得a=−$\frac{1}{2}$,
∴y=−$\frac{1}{2}$(x+4)(x−2)=−$\frac{1}{2}$x²−x+4;
(2)由点A,C坐标，得直线AC的表达式为y=x+4.
　由题意得E(m,0),F(m,m+4),
∴点D(m−$\frac{1}{2}$m²−m+4),
　当点E在OA之间时,则DF=(-$\frac{1}{2}$m²−m+4)−(m+4)=−$\frac{1}{2}$m²−2m,
　若点F是DE的中点,DF=EF,
　则一$\frac{1}{2}$m²−2m=m+4,
　解得m=−4或m=−2.
　当m=−4时,D与A重合,舍去;
　当m=−2时,D(−2,4),F(−2,2),
∴DF=2,
∴SDAC=$\frac{1}{2}$DF.(xc−xA)=$\frac{1}{2}$×2×4=4;
　同理，当点E在OB之间时,
　则DF=(m+4)−(−$\frac{1}{2}$m²−m+4)=
　$\frac{1}{2}$m²+2m,

若点D是EF的中点,DF=DE,
则$\frac{1}{2}$m²+2m=−$\frac{1}{2}$m²−m+4,
解得m=−4或m=1,
当m=−4时，点E不在OB之间,舍去;当m==11时,D(1,$\frac{5}{2}$),F(1,5),
∴DF=$\frac{5}{2}$,
∴SDAC=$\frac{1}{2}$DF.(xC−xA)=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×4=5;
综上所述,△DAC的面积为4或5;
(3)设点P(p,−$\frac{1}{2}$p²−p+4),点M(−1,m),当四边形CMPN是矩形时,则∠PMC为直角，①如图2,过点M作y轴的垂线交y轴于点K,交过点P和y轴平行的线于点H.
　　　　　　
∵∠PMC为直角,则∠HMP+∠KMC=90°,
∵∠HPM+∠HMP=90°,
∴∠HPM=∠CMK,
又
∵∠PHM=∠MKC=90°,
∴△CKM△MHP,
∵tan∠PCM=$\frac{PM}{CM}$−$\frac{1}{2}$,
∴$\frac{MH}{CK}$"$\frac{PH}{MK}$=$\frac{PM}{CM}$"$\frac{1}{2}$
由题意得,抛物线的对称轴为r=−1,
∴MK=1,CK=4−n,MH=−1−p,
PH=(−$\frac{1}{2}$ρ²−p+4)−n,
.−1−.　−$\frac{1}{2}$p²−p+4−n=
,.4−n　　　　　　1　　　　　　$\frac{1}{2}$,
解得p=−1(不合题意,舍去)或p=−5,此时，点P的横坐标为−5;
②如图3,过点M作HK⊥y轴于点K,PH⊥HK于点H,
　　　　　　
同理可得,△CMK∽△MPH,
∴$\frac{MH}{CK}$=$\frac{PH}{MK}$=$\frac{PM}{CM}$=$\frac{1}{2}$,
∵CK=n−4,MK=1,PH=n−(−$\frac{1}{2}$p²−p+44)=n+$\frac{1}{2}$p²+p−4,MH=−1−p,
∴n+$\frac{1}{2}$p1²+p−4=−n1−−4p=$\frac{1}{2}$,
解得p=1±$\sqrt{6}$,其中1+$\sqrt{6}$＞−1舍去,故p=1|　　$\sqrt{6}$;
　　③如图4,过点C,P分别作对称轴的垂线，垂足分别为点K,H,
　　　　　　
　　同理可得△CMK∽△MPH,tan∠PCM=
　$\frac{PM}{CM}$=$\frac{1}{2}$,
　
∴$\frac{MH}{CK}$=$\frac{PH}{MK}$r$\frac{PM}{CM}$=$\frac{1}{2}$,
　
∵CK=1,MK=4−n,PH=p+1,
　MH=n−(−$\frac{1}{2}$p²−p+4)=n+$\frac{1}{2}$p²+p−4,
　　　　　　　$\frac{1}{2}$p²+p−4
　
∴=n+　　1　　　　=$\frac{1}{2}$,
　　解得p=1±√6,其中1−√6＜−1舍去,故p=1+$\sqrt{6}$,
　综上所述，点P的横坐标为−5或1±√6,

18. 二次函数 $y = x^{2}-2x + 1$ 在 $-5\leqslant x\leqslant3$ 范围内的最大值为________.

答案： 36

19. [2024·东莞市三模]如图，有长为 $30\ m$ 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为 $10\ m$），围成中间隔有一道篱笆（平行于 $AB$）的矩形花圃. 设花圃的一边 $AB$ 为 $x\ m$，面积为 $y\ m^{2}$.
（1）若要围成面积为 $63\ m^{2}$ 的花圃，则 $AB$ 的长是多少？
（2）求 $AB$ 为何值时，花圃面积最大，并求出花圃的最大面积.

答案： 解:
(1)由题意,得x(30−3x)=63,
　　即x²−10x+21=0,
　　解得x=3,x2=7,
　　当x=3时,30−3x=21＞10,不合题意,舍去;当x=7时,30−3x=9＜10,符合题意,答:若要围成面积为63m²的花圃,AB的长为7m;
(2)y=x(30−3x)=−3x²+30x
　　=−3(x−5)²+75.
　
∵0＜30−3x≤10,
∴$\frac{20}{3}$≤x＜10.
　
∴当x=$\frac{20}{3}$时，y最大，最大面积为$\frac{20}{3}$×(30−3×$\frac{20}{3}$)=$\frac{200}{3}$(m²).
　答:AB为$\frac{20}{3}$m时，花圃面积最大，花圃的最大面积为$\frac{200}{3}$m².