《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

10. [2023·甘州区期中]在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件：c = $8\sqrt{3}$，∠A = 60°，求出直角三角形的其他元素.

答案：
解:
∵∠C=90°,c=8√3,
　∠A=60°,
　
∴∠B=90°−60°=30°,
　　　　　　　　　　　　
∵c=8√3,
　　b=$\frac{1}{2}$c=$\frac{1}{2}$×8√3=4√3
　
∴α=√c²−b²=12.

11. 在△ABC中，∠B = 30°，AB = 8，AC = 5，求△ABC的面积.

答案：
解:①如图1所示，当∠BAC为钝角时，过点A作AD⊥BC,垂足为点D.
　　　　　
　在Rt△ABD中,
∵AB=8,∠B=30°,
∴AD=4,BD=4√3,
　在Rt△ACD中,
∵AC=5,AD=4,
∴CD=　$\sqrt{AC²−AD²}$=3,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$BC.AD=$\frac{1}{2}$×(3+4√3)×4=6+8$\sqrt{3}$;
　②如图2所示,当∠ACB为钝角时,过点A 作AD⊥BC,交BC的延长线于点D.
　　　　　　
　在Rt△ABD中,
∵AB=8,∠B=30°,
∴AD=4,BD=4$\sqrt{3}$,
　在Rt△ACD中,
∵AC=5,AD=4,
∴CD=　$\sqrt{AC−AD2}$=3,
∴SABC=$\frac{1}{2}$BC.AD=$\frac{1}{2}$×(4√3−3)×
4=8√3−6.

12.【课本再现】
（1）在△ABC中，∠C = 90°，cosA = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，AC = $4\sqrt{3}$，求BC的长；
【拓展延伸】
（2）在△ABC中，∠A为锐角，cosA = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，AC = $4\sqrt{3}$，AB = 5，求△ABC的面积.

答案：
解:
(1)
∵在△ABC中，C=90°,
　
∴COsA=$\frac{AC}{AB}$,即$\frac{√3}{2}$=$\frac{4√3}{AB}$,解得AB=8,
∴BC=√AB²−AC=　$\sqrt{82−(4\sqrt{3})2²}$=4; 　　　 第12题图
(2)如图2所示,过点B作BD⊥AC于点
D,则∠ADB=90°,
　
∵cOsA=√23,AB=5,
　
∴AD=AB.cosA=5×$\frac{√3}{2}$=$\frac{5√3}{2}$,
∴BD=　　　　　　　　=$\frac{5}{2}$,
∴SABC=$\frac{1}{2}$AC.BD=$\frac{1}{2}$×4√3×$\frac{5}{2}$=5√3.

13. [逻辑推理]阅读下列材料：

如图1，在△ABC中，∠BAC，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，可以得到：
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}cb\sin\angle BAC$.
证明：如图1，过点A作AD⊥BC，垂足为点D.
在Rt△ABD中，sinB = $\frac{AD}{c}$，
∴AD = c·sinB，
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}a\cdot AD=\frac{1}{2}ac\sin B$.
同理，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}cb\sin\angle BAC$，
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}cb\cdot\sin\angle BAC$.
（1）通过上述材料证明：$\frac{a}{\sin\angle BAC}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$；
（2）运用（1）中的结论解决问题：
如图2，在△ABC中，∠B = 15°，∠C = 60°，AB = $20\sqrt{3}$，求AC的长度.（参考数值：sin15°≈0.3，$\sqrt{2}$≈1.4，结果取整数）

答案： 解:
(1)证明;
∵abbsinC=$\frac{1}{2}$acsinB,
∴bsinC=csinB,
∴$\frac{6}{sinB}$"$\frac{c}{sinC}$,
　同理$\frac{a}{sinBAC}$=$\frac{C}{sinC}$,
∴$\frac{a}{sinBAC}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$;
(2)由题意,得
　∠B=15°,∠C=60°,AB=20√3,
∴$\frac{AB}{sinC}$$\frac{AC}{sinB}$,即2si0n√603=siAn1C5°,
∴$\frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$≈$\frac{AC}{0.3}$,
　　　2
∴AC≈40×0.3=12.