《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

9. [2023·云浮期末]已知二次函数$y = x^{2}-4x + 3$.
(1)直接写出它的顶点坐标，与$x$轴，$y$轴的交点坐标，并在坐标系中画出函数大致图象；
(2)自变量$x$在什么范围内，$y$随$x$的增大而增大？
(3)若关于$x$的方程$x^{2}-4x + 3 = m$有两个不相等的实数根，求出常数$m$的取值范围.

答案：
解：
(1)二次函数$y = x^{2}-4x + 3=(x - 2)^{2}-1$的顶点坐标为$(2,-1)$，当$y = 0$时，$x^{2}-4x + 3 = 0$，解得$x_{1}=1,x_{2}=3$，
∴二次函数图象与$x$轴的交点坐标为$(1,0)$，$(3,0)$。当$x = 0$时，$y = 3$，
∴二次函数图象与$y$轴的交点坐标为$(0,3)$，函数大致图象如图所示；
(2)由
(1)中的函数图象知，当$x\geqslant2$时，$y$随$x$的增大而增大；
(3)解法一：$x^{2}-4x + 3 = m$整理，得$x^{2}-4x + 3 - m = 0$，则$a = 1,b=-4,c = 3 - m$，
∵方程有两个不相等的实数根，$\therefore\Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\times1\times(3 - m)＞0$，解得$m＞-1$；解法二：方程$x^{2}-4x + 3 = m$有两个不相等的实数根相当于$y = x^{2}-4x + 3$的图象与$y = m$的图象有两个交点，由
(1)中的函数图象知，$m＞-1$。

10. [2023·上虞区期末]下面是数学教材中的有关内容，请认真阅读，完成相应任务.
例5 利用二次函数的图象，求方程$x^{2}+x - 1 = 0$的解(或近似解).
解：设$y = x^{2}+x - 1$，则方程$x^{2}+x - 1 = 0$的解就是该函数图象与$x$轴交点的横坐标. 在直角坐标系中画出函数$y = x^{2}+x - 1$的图象，得到与$x$轴的交点为$A$，$B$，则点$A$，$B$的横坐标$x_{1}$，$x_{2}$就是方程的解. 观察图1，得到点$A$的横坐标$x_{1}\approx0.6$，点$B$的横坐标$x_{2}\approx - 1.5$. 所以方程$x^{2}+x - 1 = 0$的近似解为$x_{1}\approx0.6$，$x_{2}\approx - 1.5$.


(1)在例5求解过程中，主要运用的数学思想是______.(从以下选项中选2个即可)
A. 数形结合 B. 分类讨论 C. 统计思想 D. 转化思想
(2)先完成表格，并判断：方程$3x^{2}-x - 1 = 0$的解$x_{1}$，$x_{2}(x_{1}＜x_{2})$分别在哪两个相邻的整数之间.

(3)若抛物线$y = ax^{2}+bx + 2$的开口向下，试判断方程$ax^{2}+bx = - 2$根的情况.

答案： 解：
(1)在例5求解过程中，主要运用的数学思想是A，D。故答案为：A，D；
(2)填表如表所示：| $x$的值 | -2 | -1 | 0 | 1 | | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | | $3x^{2}-x - 1$的值 | 13 | 3 | -1 | 1 |$\therefore -1＜x_{1}＜0,0＜x_{2}＜1$；
(3)设方程两根$x_{1},x_{2}$，且$x_{1}＜x_{2}$，$\because y = ax^{2}+bx + 2$，$\therefore$当$x = 0$时，$y = 2$，又$\because a＜0$，$\therefore$方程有两个不相等的实数根，且$x_{1}＜0$，$x_{2}＞0$。