《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

12.[2023·广安]为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园ABC边上修建一个四边形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道.如图，点C在点A的正东方向170米处，点E在点A的正北方向，点B，D都在点C的正北方向，BD长为100米，点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东58°方向.
（1）求步道DE的长度；
（2）点D处有一个小商店，某人从点A出发沿人行步道去商店购物，可以经点B到达点D，也可以经点E到达点D，请通过计算说明他走哪条路较近.（结果精确到个位.参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，$\sqrt{3}$≈1.73）

答案：
12.解:
(1)过点D作DF⊥AE,垂足为点F.
　　　　　　　
　　由题意,得四边形ACDF是矩形，
　
∴DF=AC=170米.
　　在Rt△EFD申,∠DEF=58°,
　
∴DE=$\frac{DF}{sin58°}$$\frac{170}{0.85}$=200(米),
　
∴步道DE的长度约为200米;
(2)他从点A出发，经过点B到达点D路程较近.
　　理由:在Rt△EFD中,∠DEF=58°,DF=
　　170米，
　
∴EF=taDn5F8°≈$\frac{170}{1.6}$=106.25(米),
　　在Rt△ABC申,∠BAC=90°−30°=60°'
AC=170米,
　
∴BC=AC.tan60°=170$\sqrt{3}$(米),
AB=C−17=340((米).
　　　　　　　2.
　
∵BD=100米,
　
∴CD=BC+BD=(170√3+100)米.
　
∵四边形ACDF是矩形，
　
∴AF=DC=(170√3+100)米,
　
∴AE=AF−EF=170√3+100−106.25≈287.85(米),
　
∴此人从点A出发,经过点B到达点D的路程=AB+BD=340+100=440(米),
　此人从点A出发，经过点E到达点D的路程=AE+DE=287.85+200≈488(米),
　
∵440米＜488米,
　
∴他丛点A出发,经过点B到达点D路程较近

13.[2024·重庆模拟]如图，四边形ABCD是某公园的休闲步道.经测量，点B在A的正西方向，AB = 200$\sqrt{3}$米，点D在A的正北方向，点C在B的西北方向，BC = 300$\sqrt{2}$米，点C在D的南偏西60°方向上.
（1）求步道AD的长度；（精确到个位）
（2）小亮以90米/分的速度沿A→B→C→D的方向步行，小明骑自行车以300米/分的速度沿D→C→B→A的方向行驶.两人能否在4分钟内相遇？请说明理由.（参考数据：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732）

答案：
13.解:
(1)如图所示，过点B作BE⊥AB交CD 于点E,过点E作EF⊥AD于点F,过点C 作CG⊥BE于点G,
　　　　　　
　根据作图和已知条件可知,∠A=∠AFE=
　∠ABE=90°,
　
∴四边形ABEF为矩形，
　
∴∠BEF=90°,EF=AB=200√3米,AF=BE,
∵∠BGC=90°,∠CBG=45°,
　
∴△BCG为等腰直角三角形，
　
∴CG=BG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{√2}{2}$×300√2=300(米),
∵∠CGE=∠BEF=90°,
　
∴CG//EF,
　
∴∠ECG=∠DEF=90°−∠EDF=30°,
　
∴GE=CG.tan30°=300×$\frac{√3}{3}$=
100$\sqrt{3}$≈173.2(米),
∴AF=BE=BG+GE=300+173.2=
473.2(米),
∵∠DFE=90°,∠EDF=60°,
∴DF=$\frac{EF}{tanEDF}$−t2a0n060$\sqrt{3}$°=200(米),
∴AD=AF+FD=473.2+200≈673(米),即步道AD的长度为673米;
(2)两人能在4分钟内相遇，理由:
∵在Rt△CEG中,∠ECG=30°,GE=100√3米,
∴CE=2EG=2×100$\sqrt{3}$=200√3(米),
∵在Rt△DEF中,∠DEF=30°,DF=200米,
∴DE=2DF=400米,
∴CD=CE+DE=(200√3+400)米,
∵AB=200√3(米),BC=300√2(米),
∴AB+BC+CD=200√3+300√2+200$\sqrt{3}$+400=400√3+300√2+400≈692.8+424.2+400=1517(米),
∵1517÷(90+300)≈3.9(分钟),
∵3.9＜4,
∴两人能在4分钟内相遇.