《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

12. [2024·扬州]如图，已知二次函数$y=-x^{2}+bx + c$的图象与$x$轴交于$A(-2,0)$，$B(1,0)$两点.
(1)求$b$，$c$的值；
(2)若点$P$在该二次函数的图象上，且$\triangle PAB$的面积为6，求点$P$的坐标.

答案： 解:
(1)二次函数y=一x²+bx+c的图象与x轴交于A(−2,0),B(1,0)两点,
　
∴{−−41+−b2b++cc==00,,解得{bc==2−,1,
　
∴b=−1,c=2;
(2)由
(1)可知二次函数解析式为
　y=−x²−x+2,A(−2,0),B(1,0),
　
∴AB=1−(−2)=3,
　　设P(m,n),
∴S△PAB=$\frac{1}{2}$AB.|n|=6,
∴|n|=4,
∴n=±4,
　
∴当−x²−x+2=4时,△=1−8=−7＜0,无解，不符合题意，舍去;
　　当−x²−x+2=−4时,解得x1=−3,x2=2;
　
∴P1(2,−4),P2(−3,−4).

13. [2024·山东]在平面直角坐标系$xOy$中，点$P(2,-3)$在二次函数$y=ax^{2}+bx - 3(a\gt0)$的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线$x = m$.
(1)求$m$的值；
(2)若点$Q(m,-4)$在$y=ax^{2}+bx - 3$的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象. 当$0\leqslant x\leqslant4$时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
(3)设$y=ax^{2}+bx - 3$的图象与$x$轴交点为$(x_{1},0)$，$(x_{2},0)(x_{1}\lt x_{2})$. 若$4\lt x_{2}-x_{1}\lt6$，求$a$的取值范围.

答案： 解:
(1)
∵点P(2,−3)在二次函数y=
　　ax²+bx−3(a＞0)的图象上,
　
∴4a+2b−3=−3,
　　解得b=−2a,
　
∴抛物线为y=ax²−2ax−3,
　
∴抛物线的对称轴为直线x=一$\frac{−2a}{2a}$=1,
∴m=1;
(2)
∵点Q(1,−4)在y=ax²−2ax−3的图象上,
　
∴a−2a−3=−4,
　　解得α=1,
　
∴抛物线为y=x²−2x−3=(x−1)²−4,将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为
　　y=(x−1)²−4+5=(x−1)²+1,
　
∵0≤x≤4,
　
∴当x=1时，函数有最小值为1,
　　当x=4时,函数有最大值为(4−1)²+1=
　　10,
　
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11;
(3)
∵y=ax²−2ax−3的图象与x轴交点为(x1,0),(x2,0)(x}＜x2).
　
∴x1+x2=2,x}.x2=−$\frac{3}{a}$,
　
∵x2−x1=　$\sqrt{(x1+x2)²−4xx2}$,
　
∴2−=　$\sqrt{4+12}$$\sqrt{(x1+x2)²−4xx2}$$\sqrt{1+−}$
　
∵4＜x2−x1＜6,
　
∴4＜2　　$\sqrt{1+3}$＜6,即2＜　　$\sqrt{1+3}$＜3,
解得$\frac{3}{8}$＜a＜1.

14. [2024·柘城县三模]如图，二次函数$y=x^{2}+bx + c$的图象交$x$轴于$A$，$B(3,0)$两点，交$y$轴于$C(0,-3)$.
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)点$M$为这个二次函数图象上一个动点，点$N$为坐标平面上任意一点，设点$M$的横坐标为$m$，则点$N$的横坐标为$-2m$且$MN// x$轴.
①若点$N$也在二次函数的图象上，求$m$的值；
②当线段$MN$与二次函数的图象有两个公共点时，请直接写出$m$的取值范围.

答案： 解:
(1)
∵二次函数y=r²+bx+c的图象交x 轴于A,B(3,0)两点,交y轴于C(0,−3),
∴c9=+−3b3+,c=0,解得{bc==−−32,,
∴这个二次函数的表达式为y=x²−2x−3;
(2)
∵y=r²−2x−3=(x−1)²−4,
∴抛物线的对称轴为直线r=1,
　①若点N也在二次函数的图象上，
∵MN//x轴,
∴M,N关于直线x=1对称,
∴$\frac{m−2m}{2}$=1,
∴m=−2;
　②当线段MN与二次函数的图象有两个公共点时,
∵点M的横坐标为m,MN//x轴,
∴点M关于对称轴的对称点的横坐标为2−m,当m＜1时,则−2m≥2−m,解得m≤−2;当m＞1时,则−2m≤2−m,解得m≥−2,故m＞1,
　
∴m的取值范围是m≤−2或m＞1.