《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

1.[2023·永州二模]下列三角函数的值，正确的是 （ ）
A. $\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$ B. $\cos30^{\circ}=\frac{1}{2}$
C. $\sin60^{\circ}=\frac{1}{2}$ D. $\tan30^{\circ}=\frac{1}{2}$

答案： A

2.[2024·城关区一模]在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且$|\tan B - \sqrt{3}|+(2\sin A - \sqrt{3})^{2}=0$，则△ABC的形状是 （ ）
A. 钝角三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

答案： B

3.[2023·武都区期末]如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，CD是高，∠A = 30°，BD = 2，则AB的长为 （ ）


A. 4
B. 6
C. 8
D. 10

答案： C

4.[2024·雁塔区模拟]如图，在△ABC中，DE = $\sqrt{3}$，∠B = 45°，∠ACB = 60°，AD⊥BC于点D，∠ACD的平分线交AD于点E，则AB的长为 （ ）

A. $3\sqrt{2}$ B. $3\sqrt{3}$
C. $3\sqrt{6}$ D. $4\sqrt{3}$

答案： C

5.[2023·泸州一模]如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE = 4，AF = $6\sqrt{3}$，∠BCD = 120°，则□ABCD的面积为 （ ）


A. 24
B. 36
C. 40
D. 48

答案： D

6.[2023·福州期中]计算：$\cos60^{\circ}+(\frac{1}{2})^{-1}=$ ______ .

答案： $\frac{5}{2}$

7. 比较大小：$\frac{1}{2}$ ______ $\sqrt{2}\times\sin45^{\circ}$.（填“＞”“=”或“＜”）

答案： ＜

8.[2024·沭阳县模拟]构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用. 我们已经知道30°，45°，60°角的三角函数值，现在来求tan22.5°的值：如图，在Rt△ACB中，∠C = 90°，∠ABC = 45°，延长CB使BD = AB，连接AD，得∠D = 22.5°. 设AC = 1，则BC = 1，AB = $\sqrt{2}$ = BD，所以tan22.5° = $\frac{AC}{CD}=\frac{1}{1 + \sqrt{2}}=\frac{1 - \sqrt{2}}{(1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})}=\sqrt{2}-1$. 类比这种方法，计算tan15°的值为 ______ .

答案：
2 - $\sqrt{3}$ 解析:如图,在Rt△ACB中,∠C = 90°,∠ABC = 30°,延长CB使BD = AB,连接AD,得∠D = 15°。
　　　　　
设AC = 1,则BA = BD = 2,BC = $\sqrt{3}$。
∴CD = BC + BD = 2 + $\sqrt{3}$。在Rt△ACD中,tan15° = tanD = $\frac{AC}{CD}$ = $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ = 2 - $\sqrt{3}$。

9.[2023·哈尔滨三模]先化简，再求代数式$(\frac{2}{a + 2}-\frac{a - 3}{a^{2}-4})\div\frac{a - 1}{a + 2}$的值，其中a = $3\tan30^{\circ}+4\cos60^{\circ}$.

答案： 解:原式 = $\frac{2(a - 2) - (a - 3)}{(a + 2)(a - 2)}$ ÷ $\frac{a - 1}{a + 2}$
　　　　　= $\frac{a - 1}{(a + 2)(a - 2)}$ · $\frac{a + 2}{a - 1}$ = $\frac{1}{a - 2}$，
∵a = 3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$ + 4×$\frac{1}{2}$ = $\sqrt{3}$ + 2，
∴原式 = $\frac{1}{\sqrt{3} + 2 - 2}$ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$。