《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

7. [2023·西安模拟]某游乐场的圆形喷水池中心O有一喷水管OA = 0.5米，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线且形状相同. 如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上，已知在与池中心O点水平距离为3米时，水柱达到最高，此时高度为2米.
(1)求水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
(2)现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离8 m，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点3 m处达到最高，则喷水管OA要升高多少米?

答案： 解:
(1)设抛物线的函数表达式为$y = a(x - 3)^{2}+2(a\neq0)$．
　把$A(0,0.5)$代入，得$9a + 2 = 0.5$，
　解得$a =-\frac{1}{6}$，
∴$y =-\frac{1}{6}(x - 3)^{2}+2$．
∴抛物线(第一象限部分)的函数表达式为$y =-\frac{1}{6}(x - 3)^{2}+2$；
(2)设喷水管$OA$的高度要升高$h$m，则抛物线的表达式为$y =-\frac{1}{6}(x - 3)^{2}+2 + h$．
　把$(8,0)$代入，得$0 =-\frac{1}{6}\times(8 - 3)^{2}+2 + h$，
　解得$h=\frac{13}{6}$，
∴喷水管$OA$的高度要升高$\frac{13}{6}$m．

8. [2024·扬州一模]跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一. 如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳，经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分. 这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离. 建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员到地面OB的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离x（单位：m）近似满足函数关系y = - $\frac{1}{12}$x² + bx + c. 已知OA = 70 m，OC = 60 m，落点P到OC的水平距离是30 m，到地面OB的竖直高度是37.5 m.
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离x(m)与飞行时间t(s)具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t = 0，x = 0；当他在点P着陆时，飞行时间为5 s.
①求x关于t的函数表达式；
②当运动员与着陆坡BC在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值.

答案：
解:
(1)将$A(0,70)$，$P(30,37.5)$代入，
　得$\begin{cases}c = 70,\\-\frac{1}{12}\times900 + 30b + c = 37.5,\end{cases}$
　解得$\begin{cases}b=\frac{17}{12},\\c = 70,\end{cases}$
∴$y$关于$x$的函数关系式为$y =-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{17}{12}x + 70$；
(2)①设$x = kt + m$，
　将$\begin{cases}t = 0,\\x = 0,\end{cases}\begin{cases}t = 5,\\x = 30\end{cases}$代入，得$\begin{cases}m = 0,\\5k + m = 30,\end{cases}$
　解得$\begin{cases}k = 6,\\m = 0,\end{cases}$
∴$x = 6t$；
　②设直线$BC$的表达式为$y = k'x + d$，
　将$(0,60)$，$(30,37.5)$代入，得
　$\begin{cases}d = 60,\\30k'+d = 37.5,\end{cases}$解得$\begin{cases}d = 60,\\k'=-\frac{3}{4},\end{cases}$
∴直线$BC$的表达式为$y =-\frac{3}{4}x + 60$，
　设运动员飞行过程中的某一位置为$M$，过$M$作$MN\perp x$轴交$BC$于点$N$，
　　　　
　设$M(n,-\frac{1}{12}n^{2}+\frac{17}{12}n + 70)$，
　则$N(n,-\frac{3}{4}n + 60)$，
∴$MN =-\frac{1}{12}n^{2}+\frac{13}{6}n + 10$，
∴当$n = 13$时，$MN$最大，此时$t=\frac{13}{6}$