《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

14.[2024·濠江区二模]如图1是一款订书机，其平面示意图如图2所示，其主体部分矩形ABCD由支撑杆GE垂直固定于底座MN上，其中BC = 2 cm，GE = 1.5 cm，压杆CF = 6 cm，∠FCD = 150°，使用过程中矩形ABCD可以绕点E旋转.
（1）订书机不使用时，如图2，AB//MN，求压杆端点F到底座MN的距离；
（2）使用过程中，当点B落在底座MN上时，如图3，测得∠GBE = 15°，求压杆端点F到底座MN的高度.（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，结果精确到0.1 cm）

答案：
解:
(1)如图2，过点F作FP⊥MN于点P，过点C作CQ⊥FP于点Q，则PQ = BC + EG = 3.5 cm，
　在Rt△CFQ中，CF = 6 cm，∠FCQ = 180° - 150° = 30°，
∴FQ = $\frac{1}{2}$CF = 3(cm)，
∴FP = FQ + QP = 6.5(cm)，
　即压杆端点F到底座MN的距离为6.5 cm;
(2)如图3，过点F作FP⊥MN于点P，过点C作CQ⊥FP于点Q，过点C作CK⊥MN于点K，
　在Rt△BCK中，BC = 2 cm，∠BCK = ∠ABM = 15°，
∴CK = cos15°·BC≈1.94(cm)，
　在Rt△CFQ中，CF = 6 cm，∠FCQ = 360° - 150° - 90° - 90° - 15° = 15°，
∴FQ = sin15°·CF≈1.56(cm)，
∴FP = FQ + PQ≈3.5(cm)，
　即压杆端点F到底座MN的高度约为3.5 cm.
　

15.[2024·红花岗区一模]冬天，人们为了更好地工作生活，会选择在室内安装暖气或空调，但这些现代设备会对植物的生长造成一定的威胁.如图1，小聪家客厅的横截面是高4 m，宽6 m的长方形，墙上挂着某品牌的挂式空调，在对面墙角处摆放着一棵高1.8 m的绿植.
（1）当空调板向下吹风18°时，绿植能避开空调暖风的直接吹风吗(如图2)？
（2）如图3，此时空调板的吹风角度是30°，小聪发觉遥控器坏了无法调节空调板，请问小聪需将绿植向点B处至少移动多少米才能让绿植避开空调暖风？（结果保留0.1 m.参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，$\sqrt{2}\approx1.41$，$\sqrt{3}\approx1.73$）

答案：
解:
(1)当空调板向下吹风18°时，绿植能避开空调暖风的直接吹风.
　理由:如图1，设空调板向下吹风18°时，空调暖风的最下端与CD交于点E.
∵四边形ABCD是矩形，BC = 6 m，
∴AD = BC = 6 m，∠D = 90°.
∵∠DAE = 18°，
∴DE = AD·tan∠DAE = 6×tan18°≈6×0.32 = 1.9(m).
∵CD = 4 m，
∴CE = CD - DE = 2.1(m).
∵2.1＞1.8，
∴当空调板向下吹风18°时，绿植能避开空调暖风的直接吹风;
(2)如图2，设把绿植平移到C'M'处，空调暖风的最下端正好经过点M'.作M'F⊥AB于点F.
　由题意，得四边形BFM'C'是矩形，
∴∠AM'F = 30°，BF = M'C' = MC = 1.8 m，BC' = M'F.
　又
∵AB = 4 m，
∴AF = 2.2 m.
∴M'F = 2.2×√3≈3.8(m).
∴BC'≈3.8 m，
∵BC = 6 m，
∴CC' = BC - BC' = 2.2(m).
　答：小聪需将绿植向点B处至少移动2.2米才能让绿植避开空调暖风.