《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

7. [2023·临沂二模]一块三角形材料如图所示，∠A = 60°，∠C = 90°，AB = 12，用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，能够剪出的矩形CDEF的最大面积为______.

答案： 9$\sqrt{3}$

8. 如图，在△ABC中，∠B = 90°，AB = 6 cm，BC = 12 cm. 动点P从A点开始沿AB向B点以1 cm/s的速度运动（不与B点重合），动点Q从B点开始沿BC以2 cm/s的速度向C点运动（不与C点重合）. 如果动点P，Q同时出发，四边形APQC的面积最小时，要经过________秒.

答案： 3

9. [2023·滁州一模]如图1，在等边△ABC中，点P为AB边上的任意一点，且∠CPD = 60°，PD交AC于点D，设AP = x，AD = y，如图2是y关于x的函数图象，则图象顶点的坐标为________.

答案： (2,1)

10. [2023·滁州一模]在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 40 cm，BC = 30 cm. 现有动点P从点A出发，沿线段AC向点C方向运动；动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动. 如果点P的速度是8 cm/s，点Q的速度是4 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动. 设运动时间为t秒. 求：
（1）当t = 3时，P，Q两点之间的距离；
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数表达式；
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？

答案： 解:由题意,得AP=8tcm,CQ=4tcm,则CP=(40−8t)cm.
(1)当t=3时,CP=40−8t=16(cm),
CQ=4t=12(cm),
　　由勾股定理,得PQ=√PC²+CQ=20(cm),
故P,Q两点之间的距离是20cm;
(2)S△CPQ=$\frac{1}{2}$CP.CQ=$\frac{1}{2}$(40−8t).4t=80t−16t²,
　　由题意,知0≤t≤5,
　
∴S关于t的函数表达式为S=−16t²+80t (0≤t≤5);
(3)①当R;△CPQ∽R;△CAB时,
　$\frac{CP}{CA}$=$\frac{CQ}{CB}$,即$\frac{40−8t}{40}$−$\frac{4t}{30}$,
　　解得t=3.
　　②当R;△CPQ∽Rt△CBA时,
　$\frac{CP}{CB}$=$\frac{CQ}{CA}$,即$\frac{40−8t}{30}$=$\frac{4t}{40}$,
　　解得t=$\frac{40}{11}$
　　综上所述,t=3或$\frac{40}{11}$时,以点C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似.

11. [2023·菏泽]某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米.
（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块区域内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？

答案： 解:
(1)设花园长为x米，面积为y平方米，则宽为$\frac{120−r}{3}$米,
∴y=x.$\frac{120−x}{3}$=−$\frac{1}{3}$x²+40x=−$\frac{1}{3}$(x−60)²+1200,
　
∵$\frac{120−x}{3}$＞0,
∴r＜120,
∴在0＜x＜120范围内,当x=60时,y有最大值是1200，
　此时，宽为$\frac{120−x}{3}$=20(米),
　答:长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米;
(2)设种植牡丹的面积为α平方米，则种植芍药的面积为(1200−α)平方米，
　由题意,得25×2a+15×2(1200−α)≤50000,
　解得a≤700,
　即牡丹最多种植700平方米，
　700×2=1400(株),
　答:最多可以购买1400株牡丹.