《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

16. [2024·资阳]如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向，且A，B相距$\frac{16\sqrt{3}}{3}$海里. 一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔B的正北方向.
（1）求B，C两处的距离；
（2）该渔船从C处沿北偏东65°方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号. 此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东27°方向，便立即以18海里/小时的速度沿BD方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间.（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：tan65°≈2.1，tan27°≈0.5；结果保留根号）

答案：
解:
(1)如图,过点A作AE⊥BC于点E,
∵灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向,C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔B的正北方向,
　
∴∠ACE=∠ABE=30°,
　
∴AC=AB,
　
∵AE⊥BC,
∴CE=BE,
　
∵AB=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$海里，
　
∴BE=CE=AB.cos30°=8(海里),
　
∴BC=8×2=16(海里),
　
∴B,C两处的距离为16海里;
　　　　　　　
(2)如图,过点D作DF⊥BC于点F,
　　设CF=x海里,
　
∵∠DCF=65°,
　
∴DF=CF.tan65°=2.1x,
　　由
(1)可知,BC=16海里,
　
∴BF=(16+x)海里,
　
∵∠DBF=27°,
　
∴DF=BF.tan27。=0.5(16+x),
　
∴2.1x=0.5(16+x),
　　解得x=5,
　
∴BF=BC+CF=21海里,
DF=CF.tan65°=10.5海里,
　　根据勾股定理可得BD=　$\sqrt{DF²+BF2}$=
　　212√5(海里),
　
∴渔政船的航行时间为25÷18=$\frac{7√5}{12}$
　　(小时)，
　　答:渔政船的航行时间为$\frac{7√5}{12}$小时,

17. [2024·江汉区二模]中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣. 某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ = 4 m，仰角为α；淇淇向前走了3 m后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图. 已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB = CD = 1.6 m，点P到BQ的距离PQ = 2.6 m，AC的延长线交PQ于点E.（注：图中所有点均在同一平面内）
（1）求β的大小及tanα的值；
（2）求CP的长及sin∠APC的值.

答案：
解:
(1)由题意,可得PQ⊥AE,PQ=2.6m,
AB=CD=EQ=1.6m,AE=BQ=4m,
AC=BD=3m,
　
∴CE=4−3=1(m),PE=2.6−1.6=1(m),∠CEP=90°,
　
∴CE=PE.
　
∴β=∠PCE=45°,tana=tan∠PAE=$\frac{P}{AE}$=$\frac{1}{4}$;
(2)
∵CE=PE=1m,∠CEP=90°,
　
∴CP=　$\sqrt{12+12}$=√2(m).
　　如图,过点C作CH⊥AP于点H,
　　　　　
　
∵tanα=tan∠PAE=$\frac{CH}{AH}$=$\frac{1}{4}$,
　设CH=xm,则AH=4xm,
　
∴x²+(4x)²=AC²=9.
　
∴x=$\frac{3\sqrt{17}}{17}$..
∴CH=$\frac{3√17}{17}$m.
　　　　　　　　　　3$\sqrt{17}$
　
∴sin∠APC=$\frac{CH}{CP}$=$\frac{17}{√2}$=$\frac{3\sqrt{34}}{34}$